Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
, no ponto de ordenada
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a derivada da expressão implícita
e, em seguida, encontrar o valor dessa derivada no ponto onde a ordenada é
. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivação implícita em Cálculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Como a expressão envolve tanto
quanto
, que é uma função de
, utilizaremos a derivação implícita.
Derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 3
Aplicando a derivada termo a termo:
Sabemos que
e, pela regra da cadeia,
.
Passo 4
Substituindo as derivadas:
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, queremos o valor dessa derivada no ponto onde a ordenada é
. Substituindo:
Sabemos que
, então:
Resposta
A derivada da expressão no ponto onde a ordenada é
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine a expressão de
, lembrando que
:
Determine a expressão de
, lembrando que
:
Se $\lim _{x \rightarrow
Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior: