Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: y - x - 1/4 sen(y) = 0, no ponto de ordenada pi / 2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a derivada da expressão implícita e, em seguida, encontrar o valor dessa derivada no ponto onde a ordenada é . Para isso, vamos utilizar o conceito de derivação implícita em Cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Como a expressão envolve tanto quanto , que é uma função de , utilizaremos a derivação implícita.
Derivando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Aplicando a derivada termo a termo:
Sabemos que e, pela regra da cadeia, .

Passo 4

Substituindo as derivadas:
Agora, vamos isolar :
Fatorando :

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Agora, queremos o valor dessa derivada no ponto onde a ordenada é . Substituindo:
Sabemos que , então:

Resposta

A derivada da expressão no ponto onde a ordenada é é igual a .

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