Determine a expressão de (f^{-1})'(f(x)), lembrando que (f^{-1})'(f(x)) = 1/f'(x): f(x) = (3x - 2) / (x + 2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a expressão de (f^{-1})'(f(x)). Estamos trabalhando com a função . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada da função inversa, que nos diz que .

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada de f(x). Vamos lembrar que . Para derivar uma função do tipo , usamos a regra do quociente: .

Passo 3

Calculando u(x) e v(x):

Derivadas:

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Simplificando o numerador:

Então:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa:

Resposta

A expressão de (f^{-1})'(f(x)) é .

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