Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: no ponto de abscissa e ordenada possuem o mesmo valor
Passo 1
Vamos resolver a derivada da equação no ponto onde a abscissa (x) e a ordenada (y) são iguais. Isso envolve o estudo de derivadas implícitas em cálculo, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma variável em relação à outra quando estão relacionadas por uma equação.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a derivada em ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , usaremos a regra do produto e a regra da cadeia quando necessário.
Passo 3
Derivamos cada termo separadamente:
1. Para :
2. Para :
3. Para :
4. Para :
5. Para 16:
Passo 4
Substituímos as derivadas encontradas na equação original:
Passo 5
Reunimos os termos que contêm de um lado e os termos restantes do outro lado:
Fatoramos :
Passo 6
Isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :
Passo 7
Sabemos que no ponto de interesse, . Vamos substituir por na equação:
Passo 8
Para encontrar o valor de no ponto onde , substituímos por na equação original:
Resposta
Substituindo na expressão da derivada:
Portanto, no ponto onde .
Exercícios relacionados
Considere a função dada por
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
\frac{\operatorname{sen}(2 x-2)}{x-1} & \text { se } & x<1 \
a & \text { se } & x=1 \
\frac{x^{3}-6 x^{2}+11 x-6}{x^{3}-7 x^{2}+15 x-9} & \text { se } & 1
Calcule os limites: .
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.