Calcule a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da função inversa de no ponto , ou seja, . Sabemos que , então vamos precisar entender como a derivada da função inversa se relaciona com a derivada da função original. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se e são funções inversas, então elas satisfazem a relação . Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a :

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na derivada à esquerda, temos:

Passo 4

Queremos isolar , então vamos dividir ambos os lados da equação por :

Passo 5

Sabemos que , o que implica que . Substituindo isso na expressão, temos:

Resposta

Portanto, a derivada da função inversa de no ponto é:

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