Determinar a derivada da função
sabendo que
é a inversa da função f, isto é,
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função
, que é a inversa da função
(ou seja,
). A gente sabe que a derivada de
é
. Então, vamos usar conceitos de derivadas de funções inversas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um teorema importante: se
é a função inversa de
, então a derivada de
em um ponto
é o inverso da derivada de
no ponto
que corresponde a
. Matematicamente, isso é escrito como:
Aqui,
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, sabemos que
. Mas precisamos expressar
em termos de
para usar na fórmula da derivada da inversa. Como
, podemos substituir:
Passo 4
Substituindo
na fórmula da derivada da função inversa, temos:
Isso nos dá a derivada da função inversa
em termos de
.
Resposta
A derivada da função inversa
é:
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Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
Calcular os seguintes limites, usando a regra de L
Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
, nos pontos em que
Determinar a derivada da função
sabendo que
é a inversa da função f, isto é,
:
, para
e