Determinar a derivada da função g sabendo que g é a inversa da função f, isto é, g = f^(-1): f'(x) = raiz(1 - f^2(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função , que é a inversa da função (ou seja, ). A gente sabe que a derivada de é . Então, vamos usar conceitos de derivadas de funções inversas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um teorema importante: se é a função inversa de , então a derivada de em um ponto é o inverso da derivada de no ponto que corresponde a . Matematicamente, isso é escrito como:
Aqui, , ou seja, .

Passo 3

Agora, sabemos que . Mas precisamos expressar em termos de para usar na fórmula da derivada da inversa. Como , podemos substituir:

Passo 4

Substituindo na fórmula da derivada da função inversa, temos:
Isso nos dá a derivada da função inversa em termos de .

Resposta

A derivada da função inversa é:

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