Calcule
e
em cada item abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas primeira
e segunda
da função
. Para isso, vamos usar conceitos de derivação, especificamente a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira
. A função é
, que é uma função composta onde uma função está elevada a uma potência. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada segunda
. Para isso, vamos derivar
. Aqui, teremos que usar a regra do quociente ou a regra do produto. Vou optar pela regra do produto para facilitar.
Primeiro, reescrevemos
como:
Passo 5
Aplicando a regra do produto, onde se
e
, então:
Calculamos cada parte:
Passo 6
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas da função
são:
e
Exercícios relacionados
Calcule
e
em cada item abaixo:
Esboce o gráfico da função escolhida destacando cada assíntota (caso tenha) e os pontos encontrados nos itens (b), (d) e (e).
11-14 Encontre a diferencial da função.
(b)