Calcule
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a função
. Isso envolve funções polinomiais e logarítmicas, e para resolvermos, vamos precisar saber como trabalhar com potências e logaritmos, além de conhecer a regra do produto caso precisemos derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa "calcular
". Como
já está definida, talvez a gente precise encontrar a derivada dessa função. Então, vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A derivada de uma constante é zero, então a derivada de 4 é 0. Agora, vamos focar na parte
. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que se você tem duas funções multiplicando, a derivada é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 4
Vamos identificar as duas funções que estão se multiplicando:
Agora, vamos encontrar as derivadas delas:
- A derivada de
em relação a é (porque a derivada de é , então ). - A derivada de
em relação a é (derivada do logaritmo natural).
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Porque
.
Resposta
A derivada de
é: