Calcule f(x).
f(x) = 4 + 5 x^2 ln(x)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a função . Isso envolve funções polinomiais e logarítmicas, e para resolvermos, vamos precisar saber como trabalhar com potências e logaritmos, além de conhecer a regra do produto caso precisemos derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa "calcular ". Como já está definida, talvez a gente precise encontrar a derivada dessa função. Então, vamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

A derivada de uma constante é zero, então a derivada de 4 é 0. Agora, vamos focar na parte . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que se você tem duas funções multiplicando, a derivada é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 4

Vamos identificar as duas funções que estão se multiplicando:
Agora, vamos encontrar as derivadas delas:
  • A derivada de em relação a é (porque a derivada de é , então ).
  • A derivada de em relação a é (derivada do logaritmo natural).

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Porque .

Resposta

A derivada de é:

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