Calcule a família de primitiva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente lidando com integrais de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de substituição, que é muito útil quando temos funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do expoente. Aqui, temos
elevada à potência 20. A ideia é simplificar essa expressão usando uma substituição.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição onde
. Isso significa que estamos definindo uma nova variável
para substituir a expressão dentro dos parênteses, facilitando a integração.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Se
, então derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso simplifica nossa integral, já que
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Isso é muito mais simples de integrar!
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
. A regra geral da integração de uma potência é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Aplicando isso para
:
Passo 7
Finalmente, vamos voltar à variável original
substituindo
:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente a função
no ponto onde
.
Resolva as integrais usando a substituição de variável:
Seja
. Determine
.
Use integração por partes para resolver as integrais: