Calcule a família de primitiva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente lidando com integrais de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de substituição, que é muito útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do expoente. Aqui, temos elevada à potência 20. A ideia é simplificar essa expressão usando uma substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição onde . Isso significa que estamos definindo uma nova variável para substituir a expressão dentro dos parênteses, facilitando a integração.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Se , então derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso simplifica nossa integral, já que .

Passo 5

Substituindo e na integral original, ficamos com:
Isso é muito mais simples de integrar!

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . A regra geral da integração de uma potência é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Aplicando isso para :

Passo 7

Finalmente, vamos voltar à variável original substituindo :

Resposta

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Determine a equação da reta tangente a função no ponto onde .
Resolva as integrais usando a substituição de variável:
Seja . Determine .
Use integração por partes para resolver as integrais: