Use integração por partes para resolver as integrais: integral(16 x^3+4 x+1) ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a integração por partes e identificar as partes da nossa integral que vamos aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, é uma função que vamos derivar, e é uma função que vamos integrar.

Passo 3

Vamos dividir a integral original em três partes para facilitar:
integral(16 x^3+4 x+1) ln (x) , dx = 16 integral x^3 ln(x) , dx + 4 integral x ln(x) , dx + integral ln(x) , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando integração por partes.

Passo 4

Começando com a primeira integral: u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
Escolhemos:
dv = x^3 , dx Rightarrow v = x^44
integral x^3 ln(x) , dx = ln(x) cdot x^44 - integral x^44 cdot 1x , dx = x^4 ln(x)4 - 14 integral x^3 , dx
Aplicando a fórmula:
x^4 ln(x)4 - 14 cdot x^44 = x^4 ln(x)4 - x^416
Integrando 16 ( x^4 ln(x)4 - x^416 ) = 4x^4 ln(x) - x^4 :
Multiplicando por 16:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
Escolhemos:
dv = x , dx Rightarrow v = x^22
integral x ln(x) , dx = ln(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx = x^2 ln(x)2 - 12 integral x , dx
Aplicando a fórmula:
x^2 ln(x)2 - 12 cdot x^22 = x^2 ln(x)2 - x^24
Integrando 4 ( x^2 ln(x)2 - x^24 ) = 2x^2 ln(x) - x^2 :
Multiplicando por 4:

Passo 6

Por último, a terceira integral: u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
Escolhemos:
dv = dx Rightarrow v = x
integral ln(x) , dx = ln(x) cdot x - integral x cdot 1x , dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x
Aplicando a fórmula:

Resposta

Somando todas as partes, a integral original é:
4x^4 ln(x) - x^4 + 2x^2 ln(x) - x^2 + x ln(x) - x + C
onde é a constante de integração.

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