Calcule a fatoração de Cholesky, se possível:
D = [[6, 2, 1, -1], [2, 4, 1, 0], [1, 1, 4, -1], [-1, 0, -1, 2]]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a fatoração de Cholesky da matriz fornecida. A fatoração de Cholesky é uma técnica da álgebra linear que decompõe uma matriz simétrica e positiva definida em duas matrizes triangulares: uma inferior e sua transposta , de forma que .
Para isso, precisamos que a matriz seja simétrica e positiva definida. Vamos verificar isso e, em seguida, calcular a fatoração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se , ou seja, se os elementos são iguais em relação à diagonal principal.
A matriz dada é:
Observando os elementos, vemos que para todos e . Portanto, é simétrica.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se é positiva definida. Uma matriz simétrica é positiva definida se todos os seus menores principais têm determinantes positivos.
Vamos calcular os determinantes dos principais submatrizes:
  1. Menor de ordem 1:
  1. Menor de ordem 2:
  1. Menor de ordem 3:
  1. Menor de ordem 4 (a matriz completa):
    Vamos calcular o determinante de :
Após calcular, obtemos que .
Como todos os menores principais têm determinantes positivos, é positiva definida.

Passo 4

Agora que confirmamos que é simétrica e positiva definida, podemos realizar a fatoração de Cholesky. Vamos encontrar uma matriz triangular inferior tal que .
A matriz tem a seguinte forma:
Vamos calcular os elementos de passo a passo.

Passo 5

Calculando :
Calculando :
Calculando :
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Passo 6

Calculando :
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Passo 7

Calculando :
Calculando :
Calculando :

Resposta

A fatoração de Cholesky da matriz é:

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