Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a fatoração de Cholesky da matriz fornecida. A fatoração de Cholesky é uma técnica da álgebra linear que decompõe uma matriz simétrica e positiva definida em duas matrizes triangulares: uma inferior e sua transposta , de forma que .
Para isso, precisamos que a matriz seja simétrica e positiva definida. Vamos verificar isso e, em seguida, calcular a fatoração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se , ou seja, se os elementos são iguais em relação à diagonal principal.
A matriz dada é:
Observando os elementos, vemos que para todos e . Portanto, é simétrica.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se é positiva definida. Uma matriz simétrica é positiva definida se todos os seus menores principais têm determinantes positivos.
Vamos calcular os determinantes dos principais submatrizes:
Menor de ordem 1:
Menor de ordem 2:
Menor de ordem 3:
Menor de ordem 4 (a matriz completa):
Vamos calcular o determinante de :
Após calcular, obtemos que .
Como todos os menores principais têm determinantes positivos, é positiva definida.
Passo 4
Agora que confirmamos que é simétrica e positiva definida, podemos realizar a fatoração de Cholesky. Vamos encontrar uma matriz triangular inferior tal que .