Calcule os fatores de empacotamento atômico (FEA) para as estruturas cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Fatores de Empacotamento Atômico (FEA) para três estruturas cristalinas: cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC). Basicamente, o FEA nos mostra quanta parte do espaço em uma estrutura cristalina é ocupada pelos átomos. Para calcular isso, vamos precisar entender como os átomos se organizam em cada uma dessas estruturas e usar algumas fórmulas de geometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o FEA é calculado pela fórmula:
FEA = Número de átomos por célula unitária times Volume de um átomoVolume da célula unitária úáéááéá
Para isso, precisamos saber:
  1. Quantos átomos existem em cada célula unitária de cada estrutura.
  2. A relação entre o raio dos átomos ($ r r éá a $) para cada estrutura.
  3. Como calcular o volume do átomo e o volume da célula unitária.

Passo 3

Vamos começar com a estrutura cúbica simples (CS).
Cúbica Simples (CS):
  • Número de átomos por célula unitária: 1
  • Relação entre $ a $ e $ r $: Em uma CS, o átomo toca apenas seus vizinhos ao longo das arestas do cubo. Então, o lado do cubo $ a $ é igual a 2 vezes o raio do átomo:
    a
  • Volume da célula unitária:
    r é
  • Volume de um átomo (esfera):
    a á
  • FEA para CS:
    a = 2r

Passo 4

Agora, vamos para a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC).
Cúbica de Corpo Centrado (CCC):
  • Número de átomos por célula unitária: 2 (1 no centro e 8 das cantos compartilhados, cada um contribuindo com 1/8)
  • Relação entre $ a $ e $ r $: Na CCC, a diagonal do corpo do cubo passa por 2 raios do átomo do centro até os cantos. O comprimento da diagonal do corpo do cubo é $ a\sqrt{3} $, então:
    a
  • Volume da célula unitária:
    r é
  • FEA para CCC:
    araiz3

Passo 5

Por último, vamos calcular para a estrutura cúbica de face centrada (CFC).
Cúbica de Face Centrada (CFC):
  • Número de átomos por célula unitária: 4 (1 em cada face, cada um contribuindo com 1/2, além dos 8 cantos compartilhados)
  • Relação entre $ a $ e $ r $: Na CFC, a diagonal da face do cubo passa por 4 raios dos átomos. O comprimento da diagonal da face é $ a\sqrt{2} $, então:
    a
  • Volume da célula unitária:
    r é
  • FEA para CFC:
    araiz2

Resposta

Os Fatores de Empacotamento Atômico são:
  • Cúbica Simples (CS): aproximadamente 52,36%
  • Cúbica de Corpo Centrado (CCC): aproximadamente 68,02%
  • Cúbica de Face Centrada (CFC): aproximadamente 74,05%

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