Calcule os fatores de empacotamento atômico (FEA) para as estruturas cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Fatores de Empacotamento Atômico (FEA) para três estruturas cristalinas: cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC). Basicamente, o FEA nos mostra quanta parte do espaço em uma estrutura cristalina é ocupada pelos átomos. Para calcular isso, vamos precisar entender como os átomos se organizam em cada uma dessas estruturas e usar algumas fórmulas de geometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o FEA é calculado pela fórmula:
Para isso, precisamos saber:
- Quantos átomos existem em cada célula unitária de cada estrutura.
- A relação entre o raio dos átomos ($ r
a $) para cada estrutura. - Como calcular o volume do átomo e o volume da célula unitária.
Passo 3
Vamos começar com a estrutura cúbica simples (CS).
Cúbica Simples (CS):
-
Número de átomos por célula unitária: 1
-
Relação entre $ a $ e $ r $: Em uma CS, o átomo toca apenas seus vizinhos ao longo das arestas do cubo. Então, o lado do cubo $ a $ é igual a 2 vezes o raio do átomo:
-
Volume da célula unitária:
-
Volume de um átomo (esfera):
-
FEA para CS:
Passo 4
Agora, vamos para a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC).
Cúbica de Corpo Centrado (CCC):
-
Número de átomos por célula unitária: 2 (1 no centro e 8 das cantos compartilhados, cada um contribuindo com 1/8)
-
Relação entre $ a $ e $ r $: Na CCC, a diagonal do corpo do cubo passa por 2 raios do átomo do centro até os cantos. O comprimento da diagonal do corpo do cubo é $ a\sqrt{3} $, então:
-
Volume da célula unitária:
-
FEA para CCC:
Passo 5
Por último, vamos calcular para a estrutura cúbica de face centrada (CFC).
Cúbica de Face Centrada (CFC):
-
Número de átomos por célula unitária: 4 (1 em cada face, cada um contribuindo com 1/2, além dos 8 cantos compartilhados)
-
Relação entre $ a $ e $ r $: Na CFC, a diagonal da face do cubo passa por 4 raios dos átomos. O comprimento da diagonal da face é $ a\sqrt{2} $, então:
-
Volume da célula unitária:
-
FEA para CFC:
Resposta
Os Fatores de Empacotamento Atômico são:
- Cúbica Simples (CS): aproximadamente 52,36%
- Cúbica de Corpo Centrado (CCC): aproximadamente 68,02%
- Cúbica de Face Centrada (CFC): aproximadamente 74,05%