Sabe-se que um metal hipotético cujos dados são apresentados abaixo tem estrutura cristalina cúbica. Com base nesses dados apresentados, a estrutura seria CFC, CCC ou cúbica simples?
Peso Atômico <br> (g / mol) Densidade Teórica <br> (g / cm 3) Raio Atômico <br> (nm)
43,1 6,40 0,122

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre estruturas cristalinas! A pergunta é: com base nos dados fornecidos (peso atômico, densidade teórica e raio atômico) de um metal hipotético com estrutura cúbica, precisamos descobrir se a estrutura é CFC (Cúbica de Face Centrada), CCC (Cúbica de Corpo Centrado) ou Cúbica Simples. Para isso, vamos usar conhecimentos de densidade teórica e como ela se relaciona com diferentes tipos de estruturas cristalinas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a densidade teórica de um cristal. A fórmula geral é:
rho = Z cdot MNA cdot a^3
Onde:
  • rho é a densidade teórica,
  • Z é o número de átomos por célula unitária,
  • M é o peso atômico,
  • NA é a constante de Avogadro ( 6,022 times 10^23 mol ^-1),
  • a é o parâmetro de rede (lado da célula unitária).

Passo 3

Vamos relacionar o raio atômico ( r) com o parâmetro de rede ( a) para cada tipo de estrutura cúbica:
  • Cúbica Simples (CS):
    a = 2r
    Z = 1
  • Cúbica de Corpo Centrado (CCC):
    a = 4rraiz3
    Z = 2
  • Cúbica de Face Centrada (CFC):
    a = 2raiz2r1
    Z = 4

Passo 4

Vamos calcular o parâmetro de rede ( a) para cada estrutura usando o raio atômico fornecido, que é 0,122 nm (ou 1,22 times 10^-8 cm):
  • CS:
    a = 2r = 2 times 1,22 times 10^-8 cm = 2,44 times 10^-8 cm
  • CCC:
    a = 4 times 1,22 times 10^-8 cmraiz3 approx 2,82 times 10^-8 cm
  • CFC:
    a = 2raiz2 times 1,22 times 10^-8 cm approx 3,45 times 10^-8 cm

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade teórica para cada estrutura usando a fórmula da Passo 2 e os valores de a e Z correspondentes:
  • CS:
    rho = 1 times 43,1 g/mol6,022 times 10^23 mol^-1 times (2,44 times 10^-8 cm)^3 approx 6,55 g/cm^3
  • CCC:
    rho = 2 times 43,1 g/mol6,022 times 10^23 mol^-1 times (2,82 times 10^-8 cm)^3 approx 6,40 g/cm^3
  • CFC:
    rho = 4 times 43,1 g/mol6,022 times 10^23 mol^-1 times (3,45 times 10^-8 cm)^3 approx 6,31 g/cm^3

Passo 6

Comparando as densidades calculadas com a densidade teórica fornecida de 6,40 g/cm³:
  • CS: 6,55 g/cm³
  • CCC: 6,40 g/cm³
  • CFC: 6,31 g/cm³
A densidade que mais se aproxima é a do CCC (Cúbica de Corpo Centrado), que é exatamente 6,40 g/cm³.

Resposta

A estrutura cristalina do metal hipotético é Cúbica de Corpo Centrado (CCC).

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