Calcule as densidades atômicas lineares (DL) para as direções [100], [110] e [111] nas estruturas cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre densidade atômica linear (DL) em diferentes estruturas cristalinas e direções. A matéria que estamos usando aqui é da física do estado sólido, especificamente falando sobre como os átomos se organizam em cristais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é densidade atômica linear e como calcular em estruturas cúbicas simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC) nas direções [100], [110] e [111].

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade atômica linear (DL). A DL é basicamente o número de átomos por unidade de comprimento ao longo de uma determinada direção no cristal. A fórmula para calcular isso é:
DL = nL
onde $ n $ é o número de átomos na direção considerada e $ L $ é o comprimento total dessa direção.

Passo 3

Vamos começar com a estrutura cúbica simples (CS). Nela, cada canto do cubo tem um átomo, e cada átomo é compartilhado por 8 cubos. Então, por unidade de célula, temos 1 átomo (8 cantos × 1/8 = 1).

Direção [100] na CS

Na direção [100], estamos indo ao longo de uma aresta do cubo.
  • Número de átomos ($ n $): 1 átomo por aresta.
  • Comprimento da aresta ($ L $): $ a $ (onde $ a $ é a aresta do cubo).
Então,
n

Direção [110] na CS

Na direção [110], estamos indo pela diagonal da face.
  • Nesta direção, passamos por 2 cantos e 1 átomo no meio.
  • Número de átomos ($ n $): 1 + 0 (já que os átomos no meio são compartilhados).
O comprimento da diagonal da face é $ \sqrt{2}a $.
Então,
L

Direção [111] na CS

Na direção [111], estamos indo pela diagonal do espaço.
  • Passamos por 3 cantos e 1 átomo no centro.
  • Número de átomos ($ n $): 1 (os cantos são compartilhados).
O comprimento da diagonal do espaço é $ \sqrt{3}a $.
Então,
a

Passo 4

Agora vamos para a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC). Além dos 8 átomos nos cantos, temos 1 átomo bem no centro do cubo, totalizando 2 átomos por unidade de célula.

Direção [100] na CCC

Direção [100], ao longo de uma aresta.
  • Número de átomos ($ n $): 2 (um canto e o centro).
  • Comprimento da aresta ($ L $): $ a $.
Então,
n

Direção [110] na CCC

Direção [110], pela diagonal da face.
  • Passamos por 2 cantos e o centro.
  • Número de átomos ($ n $): 1 (os cantos são compartilhados, e o centro não está nessa direção).
O comprimento é $ \sqrt{2}a $.
Então,
L

Direção [111] na CCC

Direção [111], pela diagonal do espaço.
  • Passamos por 3 cantos e o centro.
  • Número de átomos ($ n $): 1 (os cantos são compartilhados, e o centro está na direção).
O comprimento é $ \sqrt{3}a $.
Então,
a

Passo 5

Por fim, vamos para a estrutura cúbica de face centrada (CFC). Além dos 8 átomos nos cantos, temos 6 átomos nas faces, totalizando 4 átomos por unidade de célula.

Direção [100] na CFC

Direção [100], ao longo de uma aresta.
  • Número de átomos ($ n $): 2 (um canto e o átomo da face no meio).
  • Comprimento da aresta ($ L $): $ a $.
Então,
n

Direção [110] na CFC

Direção [110], pela diagonal da face.
  • Passamos por 2 cantos e 2 átomos das faces.
  • Número de átomos ($ n $): 2.
O comprimento é $ \sqrt{2}a $.
Então,
L

Direção [111] na CFC

Direção [111], pela diagonal do espaço.
  • Passamos por 3 cantos e nenhum átomo no meio dessa direção específica.
  • Número de átomos ($ n $): 1.
O comprimento é $ \sqrt{3}a $.
Então,
a

Resposta

A densidade atômica linear (DL) para cada estrutura e direção é:
Cúbica Simples (CS):
  • [100]: $ \frac{1}{a} $
  • [110]: $ \frac{1}{\sqrt{2}a} $
  • [111]: $ \frac{1}{\sqrt{3}a} $
Cúbica de Corpo Centrado (CCC):
  • [100]: $ \frac{2}{a} $
  • [110]: $ \frac{1}{\sqrt{2}a} $
  • [111]: $ \frac{1}{\sqrt{3}a} $
Cúbica de Face Centrada (CFC):
  • [100]: $ \frac{2}{a} $
  • [110]: $ \frac{\sqrt{2}}{a} $
  • [111]: $ \frac{1}{\sqrt{3}a} $

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