Calcule os fatores de empacotamento linear das direções [100] e [110] para estrutura cristalina CFC e para estrutura CCC.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular os fatores de empacotamento linear (FEL) nas direções [100] e [110] para duas estruturas cristalinas diferentes: CFC (cúbica de face centrada) e CCC (cúbica de corpo centrado).
Para isso, vamos precisar entender:
- O que é fator de empacotamento linear (FEL): é uma medida que indica o quanto as partículas estão empacotadas ao longo de uma determinada direção em uma estrutura cristalina.
- As estruturas CFC e CCC: são arranjos geométricos dos átomos em um cristal.
- Como calcular o FEL: envolve usar fórmulas específicas que dependem da direção e da estrutura cristalina.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura cúbica de face centrada (CFC). Nessa estrutura, além dos átomos nos vértices do cubo, há um átomo no centro de cada face. Isso resulta em uma alta densidade de empacotamento.
Já a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) tem um átomo no centro do cubo, além dos átomos nos vértices. Essa disposição resulta em um empacotamento um pouco menos denso comparado à CFC.
Passo 3
Agora, vamos ver como calcular o Fator de Empacotamento Linear (FEL). A fórmula geral para FEL em uma direção específica é:
Isso significa que precisamos calcular quanto do comprimento ao longo da direção [100] ou [110] é realmente ocupado pelos átomos.
Passo 4
Vamos começar pela direção [100] na estrutura CCC.
Na direção [100], os átomos estão alinhados diretamente ao longo do eixo x. Em uma célula unitária cúbica, o comprimento total nessa direção é igual à aresta do cubo, que chamaremos de a.
Na estrutura CCC, há um átomo no centro, então o comprimento efetivo ocupado será 2 vezes o raio atômico (2r).
Sabemos que, para estruturas cúbicas, o raio atômico está relacionado ao parâmetro de rede a. Na estrutura CCC:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular o FEL na direção [100] para a estrutura CFC.
Na estrutura CFC, os átomos estão também alinhados ao longo da direção [100], mas há átomos adicionais nas faces. No caso da direção [100], ainda consideramos os átomos nos vértices e no centro da face.
A relação entre a e r na estrutura CFC é:
O comprimento efetivo ocupado ainda é 2r, pois estamos considerando duas metades de átomos ao longo da direção.
Então:
Passo 6
Vamos para a direção [110] na estrutura CCC.
Na direção [110], os átomos estão dispostos diagonalmente no plano. O comprimento total nessa direção pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras:
Na estrutura CCC, temos um átomo no centro, então o comprimento efetivo ocupado será 2 vezes o raio atômico (2r).
Portanto:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o FEL na direção [110] para a estrutura CFC.
Usando a mesma abordagem, o comprimento total na direção [110] é a√2.
Na estrutura CFC, a relação entre a e r é:
O comprimento efetivo ocupado permanece 2r, pois estamos considerando o raio dos átomos ao longo da direção.
Então:
Resposta
Os fatores de empacotamento linear calculados são: