Calcule o fluxo através do plano x z integrando o campo elétrico na Eq. 23.8 do livro
E=-k qp d[x^2+(d / 2)^2]^3 / 2 j,
sobre o plano. Para isto faça a substituição x^2 x^2+z^2 para descrever o campo elétrico em qualquer ponto do plano x z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre fluxo elétrico! A gente tem um campo elétrico dado pela equação:
E = -k qp d[x^2 + (d2)^2]^3/2 j
E o objetivo é calcular o fluxo desse campo através do plano . Para isso, vamos precisar substituir por para descrever o campo elétrico em qualquer ponto desse plano. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fluxo elétrico. O fluxo elétrico ( PhiE = integral duplaS E cdot dS ) através de uma superfície é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde é o campo elétrico e é um elemento de área da superfície .

Passo 3

No nosso caso, a superfície E = -k qp d[x^2 + z^2 + (d2)^2]^3/2 j é o plano . Vamos ajustar a equação do campo elétrico para qualquer ponto nesse plano fazendo a substituição . Assim, a expressão do campo elétrico fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o fluxo elétrico através do plano dS = j , dx , dz . Note que E cdot dS = -k qp d[x^2 + z^2 + (d2)^2]^3/2 cdot dx , dz para o plano PhiE = -k qp d integral dupla-infty^infty dx , dz[x^2 + z^2 + (d2)^2]^3/2 é na direção , então:
O produto escalar fica:
Portanto, o fluxo elétrico é:

Passo 5

Para resolver essa integral dupla, vamos mudar para coordenadas polares, onde PhiE = -k qp d integral0^2pi integral0^infty r , dr , dtheta[r^2 + (d2)^2]^3/2 e integral0^infty r , dr(r^2 + (d2)^2)^3/2 = [ -1raizr^2 + (d2)^2 ]0^infty = 0 - (-1d2) = 2d . O elemento de área em coordenadas polares é integral0^2pi dtheta = 2pi . A integral fica:
Primeiro, resolvemos a integral em :
Agora, a integral em :

Resposta

Substituindo os resultados das integrais, temos:
PhiE = -k qp d cdot 2d cdot 2pi = -4pi k qp
Portanto, o fluxo elétrico através do plano PhiE = -4pi k qp é:

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