Calcule o fluxo através do plano integrando o campo elétrico na Eq. 23.8 do livro
sobre o plano. Para isto faça a substituição para descrever o campo elétrico em qualquer ponto do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre fluxo elétrico! A gente tem um campo elétrico dado pela equação:
E o objetivo é calcular o fluxo desse campo através do plano . Para isso, vamos precisar substituir por para descrever o campo elétrico em qualquer ponto desse plano. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fluxo elétrico. O fluxo elétrico ( ) através de uma superfície é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde é o campo elétrico e é um elemento de área da superfície .

Passo 3

No nosso caso, a superfície é o plano . Vamos ajustar a equação do campo elétrico para qualquer ponto nesse plano fazendo a substituição . Assim, a expressão do campo elétrico fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o fluxo elétrico através do plano . Note que para o plano é na direção , então:
O produto escalar fica:
Portanto, o fluxo elétrico é:

Passo 5

Para resolver essa integral dupla, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . O elemento de área em coordenadas polares é . A integral fica:
Primeiro, resolvemos a integral em :
Agora, a integral em :

Resposta

Substituindo os resultados das integrais, temos:
Portanto, o fluxo elétrico através do plano é:

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