Como fica o campo se a densidade for rho(r^prime)=rho0(r^prime / R-12 R / r^prime) ? Comparando com o caso a) e b), existe alguma relação? Se sim, é possível justificar pensando em termos das cargas e o princípio da superposição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o campo gerado por uma densidade dada por . Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente o princípio da superposição, que nos permite somar os campos gerados por diferentes partes de uma distribuição de carga. Além disso, vamos comparar esse caso com os casos a) e b) que provavelmente envolvem distribuições de carga mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade . Ela está dividida em duas partes: e . Isso significa que podemos tratar o problema como a soma de duas distribuições de carga diferentes.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada uma dessas partes separadamente. Para a primeira parte, , e para a segunda parte, .

Passo 4

Para E1(r) = k rho0 rR , a densidade de carga é proporcional a . Isso pode representar uma distribuição de carga linear aumentando com a distância. Aplicando a lei de Gauss, podemos encontrar que o campo elétrico devido a essa parte será proporcional a , ou seja:
onde é a constante apropriada dependendo do contexto (como a constante eletrostática).

Passo 5

Para E2(r) = -12 k rho0 Rr , a densidade de carga é inversamente proporcional a . Isso sugere que o campo elétrico resultante dessa parte será proporcional a . Aplicando novamente a lei de Gauss, obtemos:

Passo 6

Agora, aplicando o princípio da superposição, que diz que o campo total E(r) = E1(r) + E2(r) = k rho0 rR - 12 k rho0 Rr é a soma dos campos individuais, temos:

Passo 7

Comparando com os casos a) e b), que provavelmente envolvem apenas uma das partes da densidade original, vemos que o campo final é a combinação linear dos campos desses casos, confirmando a relação de superposição das cargas.

Resposta

O campo resultante é dado por
E(r) = k rho0 rR - 12 k rho0 Rr
Onde cada termo corresponde aos campos individuais das partes da densidade, combinados pelo princípio da superposição.

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