Considerando a seguinte densidade de carga volumétrica
. Calcule o campo elétrico em função de
para
e
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de eletrostática onde nos é dada a densidade de carga volumétrica
. O objetivo é calcular o campo elétrico
em função da distância
para duas regiões: quando
e quando
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a situação onde
. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
. A Lei de Gauss nos diz que:
Como o campo elétrico
é radial e simétrico, a integral de superfície simplifica para:
Agora, precisamos calcular a carga total
dentro do raio
:
Substituindo
:
Simplificando a integral:
Calculando a integral:
Agora, substituímos
na equação da Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos considerar a situação onde
. Novamente, aplicamos a Lei de Gauss com uma superfície esférica de raio
. A carga total dentro dessa superfície agora é a carga total do volume até
:
Substituindo
:
Simplificando a integral:
Calculando a integral:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando
:
Resposta
O campo elétrico
é dado por: