Considerando a seguinte densidade de carga volumétrica rho(r^prime)=rho0(1-12 R / r^prime). Calcule o campo elétrico em função de r para r e r>R.

Passo 1

Vamos resolver um problema de eletrostática onde nos é dada a densidade de carga volumétrica rho(r') = rho0(1 - 12 Rr'). O objetivo é calcular o campo elétrico E(r) em função da distância r para duas regiões: quando r < R e quando r > R. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a situação onde r < R. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qenvo
Como o campo elétrico E é radial e simétrico, a integral de superfície simplifica para:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qenvo
Agora, precisamos calcular a carga total Qenvo dentro do raio r:
Qenvo
Substituindo rho(r'):
Qenvo
Simplificando a integral:
Qenvo
Calculando a integral:
Qenvo
Agora, substituímos Qenvo na equação da Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = 4pi rho0 (r^33 - 14 R r^2)varepsilon0
Simplificando:
E(r) = rho0varepsilon0 (r3 - R4)

Passo 3

Agora, vamos considerar a situação onde r > R. Novamente, aplicamos a Lei de Gauss com uma superfície esférica de raio r. A carga total dentro dessa superfície agora é a carga total do volume até R:
Qtotal = integral0^R rho(r') cdot 4pi r'^2 dr'
Substituindo rho(r'):
Qtotal = rho0 integral0^R (1 - 12 Rr') cdot 4pi r'^2 dr'
Simplificando a integral:
Qtotal = 4pi rho0 integral0^R (r'^2 - 12 R r') dr'
Calculando a integral:
Qtotal = 4pi rho0 [R^33 - 14 R R^2] = 4pi rho0 (R^33 - R^34) = 4pi rho0 (R^312) = pi rho0 R^33
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 = pi rho0 R^33 varepsilon0
Isolando E(r):
E(r) = rho0 R^312 varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico E(r) é dado por:
E(r) = rho0varepsilon0 (r3 - R4) & para r < R rho0 R^312 varepsilon0 r^2 & para r > R

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