Calcule o fluxo de
, através da superfície
, parte do cilindro
, limitado pelo plano
e pelo cone
, com vetor normal apontando para fora de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Essa superfície é parte de um cilindro dado pela equação
, e está limitada pelo plano
e pelo cone
. Além disso, o vetor normal à superfície deve apontar para fora. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de fluxo de campos vetoriais, parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A equação
descreve um cilindro circular. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
. Isso indica que o cilindro tem raio 1 e está centralizado em
. A superfície
é a parte desse cilindro que está entre o plano
e o cone
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Para facilitar, usamos coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cilindro. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície pode ser representado como:
onde
varia de
a
e
varia de
até
, com
. Porém, como o cone limita
, temos que
.
Passo 4
Precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. Em coordenadas cilíndricas, para o cilindro
, o vetor normal aponta radialmente para fora, ou seja:
Já que queremos o vetor normal apontando para fora.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
. Substituindo
e
:
Lembrando que
, então:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral de superfície para calcular o fluxo:
Em coordenadas cilíndricas,
. Mas como estamos fixando o cilindro,
, então
.
Passo 7
Os limites de integração para
vão de
a
. Para
, ele varia de
até o coneto
. Então, a integral fica:
Passo 8
Primeiro integramos em relação a
:
Então, a integral se torna:
Para simplificar, fazemos uma substituição:
,
. No entanto, devido à simetria, a integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração apropriadas ou reconhecendo padrões.
Após resolver a integral, obtemos:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a parte do plano
, limitada pelo cilindro
, com
tal que
Calcule
, onde
e
é a parte do cilindro
, situado no primeiro octante, entre
e
apontando para o eixo
.
Calcule
, onde
e
é a parte da esfera
, no primeiro octante e
apontando para a origem.
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para
e o sólido
limitado pelas superfícies
e
.