Calcule o fluxo de , através da superfície , parte do cilindro , limitado pelo plano e pelo cone , com vetor normal apontando para fora de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície . Essa superfície é parte de um cilindro dado pela equação , e está limitada pelo plano e pelo cone . Além disso, o vetor normal à superfície deve apontar para fora. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de fluxo de campos vetoriais, parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . A equação descreve um cilindro circular. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado: . Isso indica que o cilindro tem raio 1 e está centralizado em . A superfície é a parte desse cilindro que está entre o plano e o cone .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície . Para facilitar, usamos coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cilindro. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície pode ser representado como:
onde varia de a e varia de até , com . Porém, como o cone limita , temos que .

Passo 4

Precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Em coordenadas cilíndricas, para o cilindro , o vetor normal aponta radialmente para fora, ou seja:
Já que queremos o vetor normal apontando para fora.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar . Substituindo e :
Lembrando que , então:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de superfície para calcular o fluxo:
Em coordenadas cilíndricas, . Mas como estamos fixando o cilindro, , então .

Passo 7

Os limites de integração para vão de a . Para , ele varia de até o coneto . Então, a integral fica:

Passo 8

Primeiro integramos em relação a :
Então, a integral se torna:
Para simplificar, fazemos uma substituição: , . No entanto, devido à simetria, a integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração apropriadas ou reconhecendo padrões.
Após resolver a integral, obtemos:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , onde
e é a parte do plano , limitada pelo cilindro , com tal que
Calcule , onde
e é a parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e apontando para o eixo .
Calcule , onde
e é a parte da esfera , no primeiro octante e apontando para a origem.
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para e o sólido limitado pelas superfícies e .