Calcule o fluxo de F(x, y, z) = x i + y j - 2 z k, através da superfície S, parte do cilindro x^2 + y^2 = 2 x, limitado pelo plano z = 0 e pelo cone z = raiz(x^2 + y^2), com vetor normal apontando para fora de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície S. Essa superfície é parte de um cilindro dado pela equação , e está limitada pelo plano z = 0 e pelo cone . Além disso, o vetor normal à superfície deve apontar para fora. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de fluxo de campos vetoriais, parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. A equação descreve um cilindro circular. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado: . Isso indica que o cilindro tem raio 1 e está centralizado em . A superfície S é a parte desse cilindro que está entre o plano z = 0 e o cone .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S. Para facilitar, usamos coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cilindro. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície pode ser representado como:
onde theta varia de 0 a e z varia de 0 até r, com . Porém, como o cone limita z, temos que .

Passo 4

Precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Em coordenadas cilíndricas, para o cilindro , o vetor normal aponta radialmente para fora, ou seja:
Já que queremos o vetor normal apontando para fora.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar . Substituindo F e n:
Lembrando que , então:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de superfície para calcular o fluxo:
Em coordenadas cilíndricas, . Mas como estamos fixando o cilindro, , então .

Passo 7

Os limites de integração para theta vão de 0 a . Para z, ele varia de 0 até o coneto . Então, a integral fica:

Passo 8

Primeiro integramos em relação a z:
Então, a integral se torna:
Para simplificar, fazemos uma substituição: , . No entanto, devido à simetria, a integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração apropriadas ou reconhecendo padrões.
Após resolver a integral, obtemos:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície S é igual a .

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