Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=x i+-y j e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, a>0, no primeiro octante e n apontando para a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde F(x, y, z) = x,i - y,j. A superfície S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos). Além disso, o vetor normal n está apontando para a origem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície e a parametrização de esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a orientação do vetor normal n. Como ele está apontando para a origem, ele é o vetor normal interno da esfera. Para uma esfera, o vetor normal na superfície é dado por n = r|r|, mas como queremos que ele aponte para o interior, vamos considerar n = -ra, já que |r| = a na superfície da esfera.

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral de superfície. Temos:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaS (x,i - y,j) cdot (-x,i + y,j + z,ka) , dS

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar dentro da integral:
(x,i - y,j) cdot ( -x,i + y,j + z,ka) = -x^2a - (-y^2)a = -x^2 + y^2a

Passo 5

A integral fica então:
-1a integral duplaS (x^2 + y^2) , dS
Para calcular essa integral sobre a parte da esfera no primeiro octante, é conveniente usar coordenadas esféricas, onde:
x = a sinphi costheta y = a sinphi sintheta z = a cosphi
E o elemento de área em coordenadas esféricas é:
dS = a^2 sinphi , dphi , dtheta

Passo 6

No primeiro octante, os limites para phi e theta são:
0 <= theta <= pi2 0 <= phi <= pi2
Substituindo as expressões de x e y na integral:
-1a integral duplaS (a^2 sin^2phi cos^2theta + a^2 sin^2phi sin^2theta) , a^2 sinphi , dphi , dtheta

Passo 7

Simplificando os termos:
-a^3a integral duplaS sin^3phi (cos^2theta + sin^2theta) , dphi , dtheta = -a^2 integral duplaS sin^3phi , dphi , dtheta
Já que cos^2theta + sin^2theta = 1.

Passo 8

Agora, vamos separar as integrais:
-a^2 ( integral0^pi2 dtheta ) ( integral0^pi2 sin^3phi , dphi )
Calculando a primeira integral:
integral0^pi2 dtheta = pi2

Passo 9

Para a segunda integral, usamos a fórmula:
integral sin^n x , dx = -sin^n-1x cos xn + n-1n integral sin^n-2x , dx
Aplicando para n=3:
integral0^pi2 sin^3phi , dphi = 23

Passo 10

Substituindo os resultados das integrais:
-a^2 ( pi2 ) ( 23 ) = -a^2 cdot pi3

Resposta

A integral de superfície é -dfraca^2 pi3.

Exercícios relacionados