Calcule , onde
e é a parte da esfera , no primeiro octante e apontando para a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte da esfera que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos). Além disso, o vetor normal está apontando para a origem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície e a parametrização de esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a orientação do vetor normal . Como ele está apontando para a origem, ele é o vetor normal interno da esfera. Para uma esfera, o vetor normal na superfície é dado por , mas como queremos que ele aponte para o interior, vamos considerar , já que na superfície da esfera.

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral de superfície. Temos:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar dentro da integral:

Passo 5

A integral fica então:
Para calcular essa integral sobre a parte da esfera no primeiro octante, é conveniente usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de área em coordenadas esféricas é:

Passo 6

No primeiro octante, os limites para e são:
Substituindo as expressões de e na integral:

Passo 7

Simplificando os termos:
Já que .

Passo 8

Agora, vamos separar as integrais:
Calculando a primeira integral:

Passo 9

Para a segunda integral, usamos a fórmula:
Aplicando para :

Passo 10

Substituindo os resultados das integrais:

Resposta

A integral de superfície é .

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