Calcule
, onde
e
é a parte da esfera
, no primeiro octante e
apontando para a origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é a parte da esfera
que está no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos). Além disso, o vetor normal
está apontando para a origem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície e a parametrização de esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a orientação do vetor normal
. Como ele está apontando para a origem, ele é o vetor normal interno da esfera. Para uma esfera, o vetor normal na superfície é dado por
, mas como queremos que ele aponte para o interior, vamos considerar
, já que
na superfície da esfera.
Passo 3
Agora, vamos expressar a integral de superfície. Temos:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar dentro da integral:
Passo 5
A integral fica então:
Para calcular essa integral sobre a parte da esfera no primeiro octante, é conveniente usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de área em coordenadas esféricas é:
Passo 6
No primeiro octante, os limites para
e
são:
Substituindo as expressões de
e
na integral:
Passo 7
Simplificando os termos:
Já que
.
Passo 8
Agora, vamos separar as integrais:
Calculando a primeira integral:
Passo 9
Para a segunda integral, usamos a fórmula:
Aplicando para
:
Passo 10
Substituindo os resultados das integrais:
Resposta
A integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo de
, através da superfície
, parte do cilindro
, limitado pelo plano
e pelo cone
, com vetor normal apontando para fora de
.
Calcule
, onde
e
é a parte do plano
, limitada pelo cilindro
, com
tal que
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para
e o sólido
limitado pelas superfícies
e
.
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para
e o sólido
limitado pelas superfícies
e
.