Calcule , onde
e é a parte do plano , limitada pelo cilindro , com tal que

Passo 1

Entendendo o problema:
Queremos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do plano limitada pelo cilindro . A normal deve satisfazer . Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de superfície, vetores normais e como parametrizar a superfície.

Passo 2

Encontrando a parametrização da superfície:
A superfície está definida pelo plano e limitada pelo cilindro . Podemos parametrizar usando as coordenadas e :

Passo 3

Calculando os vetores tangentes:
Para encontrar o vetor normal, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície em relação a e :

Passo 4

Calculando o vetor normal :
O vetor normal é dado pelo produto vetorial dos vetores tangentes:
Verificamos a direção da normal:
Portanto, a normal está na direção correta.

Passo 5

Calculando o produto escalar :
Substituímos e :
Como , temos:

Passo 6

Configurando a integral na região :
A região é o círculo . É mais fácil usar coordenadas polares:
Os limites são e .

Passo 7

Expressando a integral em coordenadas polares:
Simplificando:

Passo 8

Calculando a integral em :
Substituindo na integral:

Passo 9

Calculando a integral em :
Portanto:

Resposta

O valor da integral de superfície é .

Exercícios relacionados

Calcule , onde
e é a parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e apontando para o eixo .
Seja a porção da esfera que se encontra dentro do parabolóide . Calcule a massa de sabendo que a densidade de massa em cada ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .
Calcule o fluxo de , através da superfície , parte do cilindro , limitado pelo plano e pelo cone , com vetor normal apontando para fora de .
Calcule , onde
e é a parte da esfera , no primeiro octante e apontando para a origem.