Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=z i+y z j e S é a parte do plano z=2-x, limitada pelo cilindro x^2+y^2=9, com n tal que n cdot k >= 0

Passo 1

Entendendo o problema:
Queremos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do plano limitada pelo cilindro . A normal deve satisfazer . Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de superfície, vetores normais e como parametrizar a superfície.

Passo 2

Encontrando a parametrização da superfície:
A superfície r(x, y) = x,i + y,j + (2 - x),k está definida pelo plano e limitada pelo cilindro . Podemos parametrizar usando as coordenadas e :

Passo 3

Calculando os vetores tangentes:
Para encontrar o vetor normal, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície em relação a rx = partial rpartial x = i - k e ry = partial rpartial y = j :

Passo 4

Calculando o vetor normal n,dS = rx times ry = (i - k) times j = k + i :
O vetor normal é dado pelo produto vetorial dos vetores tangentes:
n cdot k = (i + k) cdot k = 1 >= 0
Verificamos a direção da normal:
Portanto, a normal está na direção correta.

Passo 5

Calculando o produto escalar F cdot n = (z,i + y z,j) cdot (i + k) = z(1) + 0 = z :
Substituímos F cdot n = 2 - x e :
Como , temos:

Passo 6

Configurando a integral na região x = r costheta :
A região y = r sintheta é o círculo dA = r,dr,dtheta . É mais fácil usar coordenadas polares:
Os limites são e .

Passo 7

Expressando a integral em coordenadas polares:
integral duplaS F cdot n, dS = integral duplaD (2 - x), dx, dy = integral0^2pi integral0^3 (2 - r costheta), r, dr, dtheta
Simplificando:
integral0^2pi integral0^3 (2r - r^2 costheta), dr, dtheta

Passo 8

Calculando a integral em integral0^3 2r, dr = 2 cdot r^22|0^3 = 9 :
integral0^3 r^2 costheta, dr = costheta cdot r^33|0^3 = 9 costheta
integral0^2pi (9 - 9 costheta), dtheta = 9 integral0^2pi (1 - costheta), dtheta
Substituindo na integral:

Passo 9

Calculando a integral em integral0^2pi 1, dtheta = 2pi :
integral0^2pi costheta, dtheta = 0
9 cdot (2pi - 0) = 18pi
Portanto:

Resposta

O valor da integral de superfície é .

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