Calcule , onde e é a parte do plano , limitada pelo cilindro , com tal que
Passo 1
Entendendo o problema:
Queremos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do plano limitada pelo cilindro . A normal deve satisfazer . Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de superfície, vetores normais e como parametrizar a superfície.
Passo 2
Encontrando a parametrização da superfície:
A superfície está definida pelo plano e limitada pelo cilindro . Podemos parametrizar usando as coordenadas e :
Passo 3
Calculando os vetores tangentes:
Para encontrar o vetor normal, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície em relação a e :
Passo 4
Calculando o vetor normal :
O vetor normal é dado pelo produto vetorial dos vetores tangentes:
Verificamos a direção da normal:
Portanto, a normal está na direção correta.
Passo 5
Calculando o produto escalar :
Substituímos e :
Como , temos:
Passo 6
Configurando a integral na região :
A região é o círculo . É mais fácil usar coordenadas polares: