Calcule
, onde
e
é a parte do cilindro
, situado no primeiro octante, entre
e
apontando para o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície onde a gente precisa calcular
. A função vetorial
está definida em uma parte específica de um cilindro
. A superfície
é a parte desse cilindro que está no primeiro octante (onde
,
e
são positivos) entre
e
, e o vetor normal
está apontando na direção do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender cálculo de superfícies, parametrização de cilindros e o produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície
. Como
é parte do cilindro
, podemos usar coordenadas cilíndricas. Sabemos que
e
, já que o raio do cilindro é
(daí
). O
vai de
a
porque estamos no primeiro octante.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. A restrição para
é entre
e
. Substituindo
, temos
variando de
a
.
Passo 4
Vamos encontrar o vetor normal
. Para um cilindro, o vetor normal aponta radialmente para fora, mas como queremos que
aponte na direção do eixo
, na verdade estamos interessados na componente vertical. No entanto, para manter a direção correta, vamos considerar que
tem componente apenas na direção
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
. Com
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 6
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área
para o cilindro é
. Aqui,
, então
. Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Calculando a integral interna em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Expandindo a expressão dentro da integral:
Vamos resolver cada termo separadamente.
Passo 10
Calculando as integrais:
Substituindo na expressão:
Passo 11
Simplificando:
Colocando tudo com denominador 12:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
a porção da esfera
que se encontra dentro do parabolóide
. Calcule a massa de
sabendo que a densidade de massa em cada ponto
é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo
.
Calcule
, onde
e
é a porção do cilindro
, no primeiro octante, entre os planos
e
.
Calcule
, onde
e
é a parte do plano
, limitada pelo cilindro
, com
tal que
Calcule o fluxo de
, através da superfície
, parte do cilindro
, limitado pelo plano
e pelo cone
, com vetor normal apontando para fora de
.