Calcule , onde
e é a parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e apontando para o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície onde a gente precisa calcular . A função vetorial está definida em uma parte específica de um cilindro . A superfície é a parte desse cilindro que está no primeiro octante (onde , e são positivos) entre e , e o vetor normal está apontando na direção do eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender cálculo de superfícies, parametrização de cilindros e o produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como é parte do cilindro , podemos usar coordenadas cilíndricas. Sabemos que e , já que o raio do cilindro é (daí ). O vai de a porque estamos no primeiro octante.

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . A restrição para é entre e . Substituindo , temos variando de a .

Passo 4

Vamos encontrar o vetor normal . Para um cilindro, o vetor normal aponta radialmente para fora, mas como queremos que aponte na direção do eixo , na verdade estamos interessados na componente vertical. No entanto, para manter a direção correta, vamos considerar que tem componente apenas na direção , ou seja, .

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar . Com , temos:
Então, a integral fica:

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área para o cilindro é . Aqui, , então . Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Calculando a integral interna em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 9

Expandindo a expressão dentro da integral:
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 10

Calculando as integrais:
Substituindo na expressão:

Passo 11

Simplificando:
Colocando tudo com denominador 12:

Resposta

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Seja a porção da esfera que se encontra dentro do parabolóide . Calcule a massa de sabendo que a densidade de massa em cada ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .
Calcule , onde
e é a porção do cilindro , no primeiro octante, entre os planos e .
Calcule , onde
e é a parte do plano , limitada pelo cilindro , com tal que
Calcule o fluxo de , através da superfície , parte do cilindro , limitado pelo plano e pelo cone , com vetor normal apontando para fora de .