Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=(-x) i+(-y) j+(3 y^2 z) k e S é a parte do cilindro x^2+y^2=16, situado no primeiro octante, entre z=0 e z=5-y, n apontando para o eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície onde a gente precisa calcular . A função vetorial está definida em uma parte específica de um cilindro . A superfície é a parte desse cilindro que está no primeiro octante (onde , e são positivos) entre e , e o vetor normal está apontando na direção do eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender cálculo de superfícies, parametrização de cilindros e o produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como é parte do cilindro , podemos usar coordenadas cilíndricas. Sabemos que e , já que o raio do cilindro é (daí ). O vai de a porque estamos no primeiro octante.

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . A restrição para é entre e . Substituindo , temos variando de a .

Passo 4

Vamos encontrar o vetor normal . Para um cilindro, o vetor normal aponta radialmente para fora, mas como queremos que aponte na direção do eixo , na verdade estamos interessados na componente vertical. No entanto, para manter a direção correta, vamos considerar que tem componente apenas na direção , ou seja, .

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot n = (-x)(0) + (-y)(0) + (3y^2z)(1) = 3y^2z . Com integral duplaS 3y^2z , dS , temos:
Então, a integral fica:

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área integral duplaS 3y^2z , dS = integral0^pi2 integral0^5 - 4sintheta 3(4sintheta)^2 z cdot 4 , dz , dtheta para o cilindro é . Aqui, , então . Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
3(16sin^2theta) z cdot 4 = 192 sin^2theta z
Então, a integral fica:
192 integral0^pi2 sin^2theta ( integral0^5 - 4sintheta z , dz ) dtheta

Passo 8

Calculando a integral interna em relação a integral0^5 - 4sintheta z , dz = [ z^22 ]0^5 - 4sintheta = (5 - 4sintheta)^22 :
192 integral0^pi2 sin^2theta cdot (5 - 4sintheta)^22 , dtheta = 96 integral0^pi2 sin^2theta (25 - 40sintheta + 16sin^2theta) , dtheta
Substituindo de volta:

Passo 9

Expandindo a expressão dentro da integral:
96 integral0^pi2 (25sin^2theta - 40sin^3theta + 16sin^4theta) , dtheta
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 10

Calculando as integrais:
integral0^pi2 sin^2theta , dtheta = pi4
integral0^pi2 sin^3theta , dtheta = 23
integral0^pi2 sin^4theta , dtheta = 3pi16
Substituindo na expressão:
96 (25 cdot pi4 - 40 cdot 23 + 16 cdot 3pi16) = 96 (25pi4 - 803 + 3pi1)

Passo 11

Simplificando:
96 (25pi4 + 3pi1 - 803) = 96 (25pi + 12pi4 - 803) = 96 (37pi4 - 803)
Colocando tudo com denominador 12:
96 (111pi - 32012) = 8 cdot 12 cdot (111pi - 32012) = 8 (111pi - 320)

Resposta

integral duplaS F cdot n dS = 888pi - 2560

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