Calcule o fluxo do campo
, sendo
a superfície fechada limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
Passo 1
Ok, vamos resumir o que precisa ser feito. Temos que calcular o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície fechada
. Essa superfície é formada por um cilindro
e pelos planos
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita calcular o fluxo através de uma superfície fechada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso:
Passo 3
Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo de
através de
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
delimitado por
:
Como
, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume
do cilindro com altura de
a
e raio 1. Em coordenadas cilíndricas, o volume é:
Calculando as integrais:
Multiplicando tudo:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Calcule a integral de superfície
, onde
e
é a fronteira da região sólida
limitada pelo parabolóide
e pelo plano
.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):