Calcule o fluxo do campo , sendo a superfície fechada limitada pelo cilindro e pelos planos e

Passo 1

Ok, vamos resumir o que precisa ser feito. Temos que calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície fechada . Essa superfície é formada por um cilindro e pelos planos e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita calcular o fluxo através de uma superfície fechada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso:

Passo 3

Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo de através de é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume delimitado por :
Como , a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume do cilindro com altura de a e raio 1. Em coordenadas cilíndricas, o volume é:
Calculando as integrais:
Multiplicando tudo:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície é .

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Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Calcule a integral de superfície , onde e é a fronteira da região sólida limitada pelo parabolóide e pelo plano .
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):