Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(y, x, z) e S é a fronteira da região sólida W limitada pelo parabolóide z=1-x^2-y^2 e pelo plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície! O enunciado pede para calcular a integral de superfície  integral duplaS F cdot dS, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (y, x, z) e S é a fronteira da região sólida W limitada pelo parabolóide z = 1 - x^2 - y^2 e pelo plano z = 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Vamos precisar calcular a divergência de F e a integral de volume sobre W.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaW nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície de um campo vetorial sobre a fronteira de um volume W é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume W.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (F1, F2, F3) é dada por:
nabla cdot F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Para F(x, y, z) = (y, x, z):
nabla cdot F = partial ypartial x + partial xpartial y + partial zpartial z = 0 + 0 + 1 = 1

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume W. Como a divergência é 1, a integral fica:
integral triplaW 1 , dV
Isso significa que precisamos calcular o volume de W.

Passo 5

O volume W está limitado pelo parabolóide z = 1 - x^2 - y^2 e pelo plano z = 0. Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z. Nesse sistema, a equação do parabolóide fica:
z = 1 - r^2
E o plano é z = 0. Os limites para r serão de 0 a 1 (pois 1 - r^2 = 0 quando r = 1), para theta de 0 a 2pi, e para z de 0 a 1 - r^2.

Passo 6

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integral triplaW 1 , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^1 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, o termo r é o jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 - r^2 r , dz = r [ z ]0^1 - r^2 = r(1 - r^2)
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r(1 - r^2) , dr , dtheta

Passo 8

Agora, integramos em relação a r:
integral0^1 r(1 - r^2) , dr = integral0^1 (r - r^3) , dr = [ r^22 - r^44 ]0^1 = ( 12 - 14 ) = 14
Então, a integral fica:
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot [ theta ]0^2pi = 14 cdot 2pi = pi2

Resposta

A integral de superfície é igual a dfracpi2.

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