Calcule a integral de superfície , onde e é a fronteira da região sólida limitada pelo parabolóide e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície! O enunciado pede para calcular a integral de superfície  , onde o campo vetorial é e é a fronteira da região sólida limitada pelo parabolóide e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Vamos precisar calcular a divergência de e a integral de volume sobre .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície de um campo vetorial sobre a fronteira de um volume é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Para :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume . Como a divergência é 1, a integral fica:
Isso significa que precisamos calcular o volume de .

Passo 5

O volume está limitado pelo parabolóide e pelo plano . Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, onde , , e . Nesse sistema, a equação do parabolóide fica:
E o plano é . Os limites para serão de 0 a 1 (pois quando ), para de 0 a , e para de 0 a .

Passo 6

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, o termo é o jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Em cada item, dê exemplos de conjuntos satisfazendo a igualdade abaixo:
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Calcule o fluxo do campo , sendo a superfície fechada limitada pelo cilindro e pelos planos e