Calcule a integral de superfície
, onde
e
é a fronteira da região sólida
limitada pelo parabolóide
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
e
é a fronteira da região sólida
limitada pelo parabolóide
e pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Vamos precisar calcular a divergência de
e a integral de volume sobre
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície de um campo vetorial sobre a fronteira de um volume
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
. Como a divergência é 1, a integral fica:
Isso significa que precisamos calcular o volume de
.
Passo 5
O volume
está limitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, onde
,
, e
. Nesse sistema, a equação do parabolóide fica:
E o plano é
. Os limites para
serão de 0 a 1 (pois
quando
), para
de 0 a
, e para
de 0 a
.
Passo 6
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, o termo
é o jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Em cada item, dê exemplos de conjuntos
satisfazendo a igualdade abaixo:
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Calcule o fluxo do campo
, sendo
a superfície fechada limitada pelo cilindro
e pelos planos
e