Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos no numerador e no denominador conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: .
A função é a função inversa da tangente e tem algumas propriedades importantes:
  • Quando tende para , tende para .
  • Quando tende para , tende para .
No nosso caso, cresce exponencialmente à medida que aumenta, enquanto cresce linearmente, alternando sinais. Portanto, para valores grandes de , domina o termo , fazendo com que seja positivo e muito grande. Assim:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: .
Quando cresce, o termo domina, tornando o praticamente irrelevante. Portanto, para valores grandes de :

Passo 4

Com as análises anteriores, podemos reescrever a sequência para valores grandes de :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada conforme tende para o infinito:
Isso acontece porque cresce sem limites, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é .

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