Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos no numerador e no denominador conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador:
.
A função
é a função inversa da tangente e tem algumas propriedades importantes:
- Quando
tende para , tende para . - Quando
tende para , tende para .
No nosso caso,
cresce exponencialmente à medida que
aumenta, enquanto
cresce linearmente, alternando sinais. Portanto, para valores grandes de
,
domina o termo
, fazendo com que
seja positivo e muito grande. Assim:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
.
Quando
cresce, o termo
domina, tornando o
praticamente irrelevante. Portanto, para valores grandes de
:
Passo 4
Com as análises anteriores, podemos reescrever a sequência para valores grandes de
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada conforme
tende para o infinito:
Isso acontece porque
cresce sem limites, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é
.
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Calcule o fluxo do campo
, sendo
a superfície fechada limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):
Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Predicativa:
Enumerativa:
Formatos: Predicativa:
Enumerativa: