Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
dada por
orientada de forma que o vetor normal em cada ponto da superfície aponte na direção do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
definida por
no intervalo
. O conteúdo envolve cálculo de fluxo de campos vetoriais e provavelmente vamos usar o teorema da divergência. Precisaremos entender como aplicar esse teorema e calcular integrais de superfície e volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume limitado por essa superfície:
Isso simplifica o problema se conseguirmos calcular a divergência
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
:
A divergência é:
onde
.
Passo 5
Calculando cada derivada:
Fazendo o mesmo para as componentes de
e
, somamos:
Simplificando:
Então, a divergência de
é zero em todo o espaço onde
.
Passo 6
Com a divergência sendo zero, segundo o Teorema da Divergência:
Portanto, o fluxo de
através da superfície
é zero.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Sejam
e
parte do paraboloide
, com
, com orientação normal exterior. Calcule o fluxo do campo vetorial
.
Seja
uma região fechada e limitada de
, cuja fronteira é a união de duas superfícies
e
, orientadas com vetor normal exterior a
. Considere o vetor normal a
com terceira componente positiva. Qual o valor de
, onde
, sabendo que
é uma porção do plano
com 5 unidades de área e que
possui 30 unidades de volume.
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace
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