Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície dada por orientada de forma que o vetor normal em cada ponto da superfície aponte na direção do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície definida por no intervalo . O conteúdo envolve cálculo de fluxo de campos vetoriais e provavelmente vamos usar o teorema da divergência. Precisaremos entender como aplicar esse teorema e calcular integrais de superfície e volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume limitado por essa superfície:
Isso simplifica o problema se conseguirmos calcular a divergência .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de :
A divergência é:
onde .

Passo 5

Calculando cada derivada:
Fazendo o mesmo para as componentes de e , somamos:
Simplificando:
Então, a divergência de é zero em todo o espaço onde .

Passo 6

Com a divergência sendo zero, segundo o Teorema da Divergência:
Portanto, o fluxo de através da superfície é zero.

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é igual a zero.

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