Seja W uma região fechada e limitada de R^3, cuja fronteira é a união de duas superfícies S1 e S2, orientadas com vetor normal exterior a W. Considere o vetor normal a S1 com terceira componente positiva. Qual o valor de integral duplaS2 F cdot n d S, onde F(x, y, z)= (e^y^2+z^2, y+2 raiz5,-2 y), sabendo que S1 é uma porção do plano 2 y+z=1 com 5 unidades de área e que W possui 30 unidades de volume.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente vai trabalhar com a Teorema da Divergência, que ajuda a relacionar integrais de superfície com integrais de volume. No problema, temos uma região fechada em três dimensões, com a fronteira formada por duas superfícies e . Queremos descobrir o valor da integral de sobre . Para isso, vamos precisar calcular a divergência de , conhecer a área de e o volume de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Teorema da Divergência. Essa teorema nos diz que:
integral duplapartial W F cdot n , dS = integral triplaW nabla cdot F , dV
Aqui, integral duplaS1 F cdot n , dS + integral duplaS2 F cdot n , dS = integral triplaW nabla cdot F , dV é a fronteira de , que é . Então podemos escrever:
Nosso objetivo é achar .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
partial Fxpartial x = partialpartial x (e^y^2+z^2) = 0
Com partial Fypartial y = partialpartial y (y + 2 raiz5) = 1 , temos:
partial Fzpartial z = partialpartial z (-2y) = 0
nabla cdot F = 0 + 1 + 0 = 1
Então,

Passo 4

Com a divergência calculada, podemos encontrar a integral de volume:
integral triplaW nabla cdot F , dV = integral triplaW 1 , dV = Volume de W
Sabemos que o volume de integral triplaW nabla cdot F , dV = 30 é 30 unidades. Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral sobre integral duplaS1 F cdot n , dS :
n = (0, 2, 1)raiz0^2 + 2^2 + 1^2 = (0, 2, 1)raiz5 = (0, 2raiz5, 1raiz5)
Primeiro, encontramos o vetor normal F cdot n = e^y^2+z^2 cdot 0 + (y + 2 raiz5) cdot 2raiz5 + (-2y) cdot 1raiz5 = 2y + 4raiz5 - 2yraiz5 = 4raiz5raiz5 = 4 para integral duplaS1 F cdot n , dS = 4 times Área de S1 = 4 times 5 = 20 . A equação do plano é , então o vetor normal é . Como queremos a componente z positiva, mantemos esse vetor.
Vamos normalizar :
Agora, calculamos :
Portanto,
Á

Passo 6

Finalmente, voltamos à equação da Teorema da Divergência:
integral duplaS1 F cdot n , dS + integral duplaS2 F cdot n , dS = 30
Substituindo o valor encontrado para 20 + integral duplaS2 F cdot n , dS = 30 :
integral duplaS2 F cdot n , dS = 30 - 20 = 10
Isolando :

Resposta

integral duplaS2 F cdot n , dS = 10

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