Seja
uma região fechada e limitada de
, cuja fronteira é a união de duas superfícies
e
, orientadas com vetor normal exterior a
. Considere o vetor normal a
com terceira componente positiva. Qual o valor de
, onde
, sabendo que
é uma porção do plano
com 5 unidades de área e que
possui 30 unidades de volume.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente vai trabalhar com a Teorema da Divergência, que ajuda a relacionar integrais de superfície com integrais de volume. No problema, temos uma região fechada
em três dimensões, com a fronteira formada por duas superfícies
e
. Queremos descobrir o valor da integral de
sobre
. Para isso, vamos precisar calcular a divergência de
, conhecer a área de
e o volume de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Teorema da Divergência. Essa teorema nos diz que:
Aqui,
é a fronteira de
, que é
. Então podemos escrever:
Nosso objetivo é achar
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Com
, temos:
Então,
Passo 4
Com a divergência calculada, podemos encontrar a integral de volume:
Sabemos que o volume de
é 30 unidades. Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral sobre
:
Primeiro, encontramos o vetor normal
para
. A equação do plano é
, então o vetor normal é
. Como queremos a componente z positiva, mantemos esse vetor.
Vamos normalizar
:
Agora, calculamos
:
Portanto,
Passo 6
Finalmente, voltamos à equação da Teorema da Divergência:
Substituindo o valor encontrado para
:
Isolando
:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontrar o fluxo da parte rotacional do campo vetorial
) através da superfície aberta definida pelo cilindro
com
e uma porção do plano
, com orientação normal exterior.
Encontrar o fluxo do campo vetorial
através superfície do corpo limitado por
, e
, com orientação normal exterior.
Sejam
e
parte do paraboloide
, com
, com orientação normal exterior. Calcule o fluxo do campo vetorial
.
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
dada por
orientada de forma que o vetor normal em cada ponto da superfície aponte na direção do eixo
.