Seja uma região fechada e limitada de , cuja fronteira é a união de duas superfícies e , orientadas com vetor normal exterior a . Considere o vetor normal a com terceira componente positiva. Qual o valor de , onde , sabendo que é uma porção do plano com 5 unidades de área e que possui 30 unidades de volume.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente vai trabalhar com a Teorema da Divergência, que ajuda a relacionar integrais de superfície com integrais de volume. No problema, temos uma região fechada em três dimensões, com a fronteira formada por duas superfícies e . Queremos descobrir o valor da integral de sobre . Para isso, vamos precisar calcular a divergência de , conhecer a área de e o volume de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Teorema da Divergência. Essa teorema nos diz que:
Aqui, é a fronteira de , que é . Então podemos escrever:
Nosso objetivo é achar .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Com , temos:
Então,

Passo 4

Com a divergência calculada, podemos encontrar a integral de volume:
Sabemos que o volume de é 30 unidades. Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral sobre :
Primeiro, encontramos o vetor normal para . A equação do plano é , então o vetor normal é . Como queremos a componente z positiva, mantemos esse vetor.
Vamos normalizar :
Agora, calculamos :
Portanto,
Á

Passo 6

Finalmente, voltamos à equação da Teorema da Divergência:
Substituindo o valor encontrado para :
Isolando :

Resposta

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