Sejam e parte do paraboloide , com , com orientação normal exterior. Calcule o fluxo do campo vetorial .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido por e uma superfície que é parte do paraboloide com , orientada para fora. Nosso objetivo é calcular o fluxo desse campo vetorial através da superfície . Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Onde:
  • é o fluxo do campo através da superfície .
  • é a integral da divergência de sobre o volume limitado por .
No nosso caso, a superfície não está fechada, então precisamos fechar a superfície adicionando uma base no plano . Assim, teremos uma superfície fechada composta pelo paraboloide e pela base.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Para , temos:
Calculando as derivadas parciais:
Somando tudo:
Então, a divergência de é .

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume limitado pelo paraboloide e pela base no plano :
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, pois a superfície é simétrica em torno do eixo .
Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • O elemento de volume é
O paraboloide . Assim, nossos limites de integração são:
  • varia de a
  • varia de a (quando )
  • varia de a

Passo 5

Vamos montar a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em :
Fazendo a substituição , então ou .
Quando , ; quando , .
A integral fica:

Passo 7

Substituindo de volta na integral principal:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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