Sejam
e
parte do paraboloide
, com
, com orientação normal exterior. Calcule o fluxo do campo vetorial
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido por
e uma superfície
que é parte do paraboloide
com
, orientada para fora. Nosso objetivo é calcular o fluxo desse campo vetorial através da superfície
. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Onde:
-
é o fluxo do campo através da superfície . -
é a integral da divergência de sobre o volume limitado por .
No nosso caso, a superfície
não está fechada, então precisamos fechar a superfície adicionando uma base no plano
. Assim, teremos uma superfície fechada composta pelo paraboloide e pela base.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência
é dada por:
Para
, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Somando tudo:
Então, a divergência de
é
.
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
limitado pelo paraboloide e pela base no plano
:
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, pois a superfície é simétrica em torno do eixo
.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
- O elemento de volume é
O paraboloide
. Assim, nossos limites de integração são:
-
varia de a -
varia de a (quando ) -
varia de a
Passo 5
Vamos montar a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral em
:
Fazendo a substituição
, então
ou
.
Quando
,
; quando
,
.
A integral fica:
Passo 7
Substituindo de volta na integral principal:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Seja
uma região fechada e limitada de
, cuja fronteira é a união de duas superfícies
e
, orientadas com vetor normal exterior a
. Considere o vetor normal a
com terceira componente positiva. Qual o valor de
, onde
, sabendo que
é uma porção do plano
com 5 unidades de área e que
possui 30 unidades de volume.
Encontrar o fluxo da parte rotacional do campo vetorial
) através da superfície aberta definida pelo cilindro
com
e uma porção do plano
, com orientação normal exterior.
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
dada por
orientada de forma que o vetor normal em cada ponto da superfície aponte na direção do eixo
.
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace