Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando Transformada de Laplace. A gente tem uma equação de valor inicial que envolve derivadas e funções exponenciais. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação no domínio transformado.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de é , onde é a transformada de .
Então,

Passo 3

Substituindo as transformadas, temos:
Sabemos que , então a equação simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos fatorar no lado esquerdo:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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