Calcule o fluxo de fluido que passa através de uma seção transversal circular do gasoduto localizada no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o fluxo de fluido que passa por uma seção transversal circular de um gasoduto no plano
. Isso envolve conceitos de fluxo em campos vetoriais e a integração em superfícies. Para resolver, vamos precisar saber a velocidade do fluido e a área da seção transversal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de fluido (ou vazão) é definido como a quantidade de fluido que passa por uma área em um certo tempo. Matematicamente, o fluxo
é calculado pela integral do produto escalar da velocidade
com o vetor normal à superfície
sobre a área
:
Passo 3
Agora, precisamos definir o vetor velocidade
. Suponha que a velocidade do fluido seja uniforme e direcionada ao longo do eixo
, então podemos escrever:
Como a seção transversal está no plano
, o vetor normal à superfície
também será na direção do eixo
:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Então, a expressão do fluxo fica:
Passo 5
Se a velocidade
é constante em toda a área
, podemos simplificar a integral:
Passo 6
A área
de uma seção transversal circular é dada por:
onde
é o raio do círculo.
Passo 7
Substituindo a expressão da área na fórmula do fluxo:
Resposta
O fluxo de fluido que passa através da seção transversal circular é:
Exercícios relacionados
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(f)
(f)
Usando a regra da cadeia, calcule
.
©
©
Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
© A equação do plano tangente à superfície no ponto
é
© A equação do plano tangente à superfície
Se
, determine