Calcule o fluxo de fluido que passa através de uma seção transversal circular do gasoduto localizada no plano .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o fluxo de fluido que passa por uma seção transversal circular de um gasoduto no plano . Isso envolve conceitos de fluxo em campos vetoriais e a integração em superfícies. Para resolver, vamos precisar saber a velocidade do fluido e a área da seção transversal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de fluido (ou vazão) é definido como a quantidade de fluido que passa por uma área em um certo tempo. Matematicamente, o fluxo é calculado pela integral do produto escalar da velocidade com o vetor normal à superfície sobre a área :

Passo 3

Agora, precisamos definir o vetor velocidade . Suponha que a velocidade do fluido seja uniforme e direcionada ao longo do eixo , então podemos escrever:
Como a seção transversal está no plano , o vetor normal à superfície também será na direção do eixo :

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :
Então, a expressão do fluxo fica:

Passo 5

Se a velocidade é constante em toda a área , podemos simplificar a integral:

Passo 6

A área de uma seção transversal circular é dada por:
onde é o raio do círculo.

Passo 7

Substituindo a expressão da área na fórmula do fluxo:

Resposta

O fluxo de fluido que passa através da seção transversal circular é:

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Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(f)
Usando a regra da cadeia, calcule .
©
Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
© A equação do plano tangente à superfície no ponto é
Se , determine