Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
© A equação do plano tangente à superfície z = x^2 y no ponto 1,2 é
z = 2 + 2xy(x - 1) + x^2(y - 2)

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos por que a afirmação sobre a equação do plano tangente está errada. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, mais especificamente o conceito de plano tangente a uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação do plano tangente usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície dada: . Queremos encontrar o plano tangente a essa superfície no ponto . Mas, peraí, precisamos do ponto completo, que inclui o valor de . Vamos calcular isso substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto completo é .

Passo 3

Agora, para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula:
Aqui, é a coordenada do ponto de tangência, e e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, avaliadas no ponto .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula do plano tangente:
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação correta do plano tangente é:

Passo 7

Vamos comparar com a equação fornecida na afirmação:
Se expandirmos essa expressão, veremos que ela não se simplifica para . Portanto, a equação dada não representa o plano tangente correto à superfície no ponto .

Resposta

A afirmação é falsa porque a equação dada não coincide com o plano tangente correto à superfície no ponto .

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