Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
© A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é
© A equação do plano tangente à superfície
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos por que a afirmação sobre a equação do plano tangente está errada. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, mais especificamente o conceito de plano tangente a uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação do plano tangente usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície dada:
. Queremos encontrar o plano tangente a essa superfície no ponto
. Mas, peraí, precisamos do ponto completo, que inclui o valor de
. Vamos calcular isso substituindo
e
na equação da superfície:
Então, o ponto completo é
.
Passo 3
Agora, para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula:
Aqui,
é a coordenada
do ponto de tangência, e
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, avaliadas no ponto
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula do plano tangente:
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação correta do plano tangente é:
Passo 7
Vamos comparar com a equação fornecida na afirmação:
Se expandirmos essa expressão, veremos que ela não se simplifica para
. Portanto, a equação dada não representa o plano tangente correto à superfície no ponto
.
Resposta
A afirmação é falsa porque a equação dada não coincide com o plano tangente correto
à superfície
no ponto
.