Calcule.
(g) integral sen(3 x) cos (8 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sen(3 x) cos (8 x) , dx. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente ao uso de identidades trigonométricas para simplificar integrais de produtos de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar utilizar a identidade do produto para soma que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em soma:
sen(A) cos(B) = 12 [ sen(A + B) + sen(A - B) ]
Nesse caso, temos A = 3x e B = 8x.

Passo 3

Aplicando a identidade na nossa integral:
integral sen(3x) cos(8x) , dx = 12 integral [ sen(3x + 8x) + sen(3x - 8x) ] , dx
Simplificando os argumentos dos senos:
= 12 integral [ sen(11x) + sen(-5x) ] , dx

Passo 4

Sabemos que sen(-theta) = -sen(theta), então:
= 12 integral [ sen(11x) - sen(5x) ] , dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
= 12 ( -cos(11x)11 + cos(5x)5 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral sen(3 x) cos (8 x) , dx é igual a:
-cos(11x)22 + cos(5x)10 + C

Exercícios relacionados

Definimos a composição de duas funções f e g como sendo a função
(f o g)(x) = f(g(x)), para todo x pertencente ao dom(f o g) = {x pertencente ao dom(g): g(x) pertencente ao dom(f)}
Para o cálculo de (f o g)(x), calculamos f(y), com y = g(x). Assim, é preciso que y = g(x) esteja no domínio de f, daí a explicação do domínio da composição.
Por exemplo, considerando as funções f e g do exercício anterior, temos que
(g o f)(x) = g(f(x)) = 2/(f(x) - 7) = 2/(2x^2 - 8 - 7) = 2/(2x^2 - 15), forall x != +- raiz(15/2)
Veja que, no domínio, tivemos que excluir todos os pontos tais f(x) não está em dom(g) = R \ {7}. Assim, eliminamos todos os valores de x reais, tais que f(x) = 2x^2 - 8 = 7.
Ainda considerando as funções f e g como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.
Calcule.
© integral sen(x) cos ^4(5 x) d x
Calcule.
(f) integral sec ^3(x2) d x
Mostre que
integral0^1 16(x-1)x^4-2 x^3+4 x-4 d x=pi