Definimos a composição de duas funções
e
como sendo a função
Para o cálculo de
, calculamos
, com
. Assim, é preciso que
esteja no domínio de
, daí a explicação do domínio da composição.
Por exemplo, considerando as funções
e
do exercício anterior, temos que
Veja que, no domínio, tivemos que excluir todos os pontos tais
. Assim, eliminamos todos os valores de
reais, tais que
.
Ainda considerando as funções
e
como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.
Por exemplo, considerando as funções
Ainda considerando as funções
Passo 1
Beleza, bora lá! O enunciado está falando sobre composição de funções, que é quando você usa o resultado de uma função dentro de outra. A gente vai precisar entender como compor duas funções
e
, calcular essa composição e também determinar o domínio dessa nova função composta. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição da composição de funções. Quando a gente tem duas funções
e
, a composição
é definida por:
Isso significa que a gente primeiro calcula
e depois usa esse resultado como entrada para a função
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o domínio da composição
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para a composição, precisamos que:
-
esteja no domínio de . -
esteja no domínio de .
Ou seja, só podemos compor essas funções se o resultado de
for válido para
.
Passo 4
Vamos pegar o exemplo dado no enunciado:
Aqui, a gente calculou
substituindo
na função
.
Passo 5
Note que no domínio da composição, excluímos os valores de
que fazem
, porque
não está definido para
. Resolvendo:
Então, o domínio da composição
é todos os reais exceto
.
Passo 6
Agora, vamos determinar a expressão e o domínio de outras composições possíveis entre
e
. Supondo que temos duas funções
e
definidas, podemos compor
e
. Já fizemos
, agora vamos calcular
.
Passo 7
Vamos calcular
:
Precisamos saber qual é a expressão de
para substituir aqui. Supondo que
, então:
Passo 8
Agora, vamos encontrar o domínio de
. Precisamos que:
-
esteja no domínio de , ou seja, (porque no denominador não pode ser zero). -
esteja no domínio de . Como é um polinômio, está definido para todo .
Então, o domínio de
é todos os reais menos
.
Resposta
A composição
é dada por:
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Calcule.
©
©
Calcule as seguintes integrais.
(b)
(b)
Calcule.
(g)
(g)
Calcule.
(f)
(f)