Definimos a composição de duas funções f e g como sendo a função
(f o g)(x) = f(g(x)), para todo x pertencente ao dom(f o g) = {x pertencente ao dom(g): g(x) pertencente ao dom(f)}
Para o cálculo de (f o g)(x), calculamos f(y), com y = g(x). Assim, é preciso que y = g(x) esteja no domínio de f, daí a explicação do domínio da composição.
Por exemplo, considerando as funções f e g do exercício anterior, temos que
(g o f)(x) = g(f(x)) = 2/(f(x) - 7) = 2/(2x^2 - 8 - 7) = 2/(2x^2 - 15), forall x != +- raiz(15/2)
Veja que, no domínio, tivemos que excluir todos os pontos tais f(x) não está em dom(g) = R \ {7}. Assim, eliminamos todos os valores de x reais, tais que f(x) = 2x^2 - 8 = 7.
Ainda considerando as funções f e g como no exercício anterior, determine a expressão e domínio de cada uma das composições abaixo.

Passo 1

Beleza, bora lá! O enunciado está falando sobre composição de funções, que é quando você usa o resultado de uma função dentro de outra. A gente vai precisar entender como compor duas funções e , calcular essa composição e também determinar o domínio dessa nova função composta. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição da composição de funções. Quando a gente tem duas funções e , a composição é definida por:
Isso significa que a gente primeiro calcula e depois usa esse resultado como entrada para a função .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o domínio da composição . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para a composição, precisamos que:
  1. esteja no domínio de .
  2. esteja no domínio de .
Ou seja, só podemos compor essas funções se o resultado de for válido para .

Passo 4

Vamos pegar o exemplo dado no enunciado:
Aqui, a gente calculou substituindo na função .

Passo 5

Note que no domínio da composição, excluímos os valores de que fazem , porque não está definido para . Resolvendo:
Então, o domínio da composição é todos os reais exceto .

Passo 6

Agora, vamos determinar a expressão e o domínio de outras composições possíveis entre e . Supondo que temos duas funções e definidas, podemos compor e . Já fizemos , agora vamos calcular .

Passo 7

Vamos calcular :
Precisamos saber qual é a expressão de para substituir aqui. Supondo que , então:

Passo 8

Agora, vamos encontrar o domínio de . Precisamos que:
  1. esteja no domínio de , ou seja, (porque no denominador não pode ser zero).
  2. esteja no domínio de . Como é um polinômio, está definido para todo .
Então, o domínio de é todos os reais menos .

Resposta

A composição é dada por:

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Calcule.
© integral sen(x) cos ^4(5 x) d x
Calcule as seguintes integrais.
(b) integral7^9 x-1x(x-2) d x
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