Calcule gamma'(t) e gamma''(t)
gamma(t) = (3*t^2, e^(-t), ln(t^2+1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular gamma'(t) e gamma''(t) para a função vetorial . Aqui, estamos lidando com derivadas de funções vetoriais, que é um tópico de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada gamma'(t). A ideia é derivar cada uma das três componentes da função gamma(t) em relação a t.
  • A primeira componente é . A derivada de em relação a t é .
  • A segunda componente é e^(-t). A derivada de e^(-t) em relação a t é , porque a derivada de é , onde k é uma constante.
  • A terceira componente é . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então, .
Então, juntando tudo, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada gamma''(t). Isso significa que vamos derivar novamente cada componente de gamma'(t).
  • A primeira componente de gamma'(t) é . A derivada de em relação a t é .
  • A segunda componente de gamma'(t) é . A derivada de em relação a t é e^(-t), porque a derivada de é .
  • A terceira componente de gamma'(t) é . Para derivar isso, usamos a regra do quociente: . Aqui, e , então:
Então,
Então, juntando tudo, temos:

Resposta

As derivadas são:

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