Calcule a integral tripla integral0^1 integral0^1-x integral0^2-x-y z d z d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla . Esse exercício envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que são usadas para calcular volumes ou outras grandezas em três dimensões. Para resolver, vamos integrar passo a passo, começando pela variável , depois e por último .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^2-x-y z , dz = [ 12z^2 ]0^2-x-y = 12(2 - x - y)^2 - 12(0)^2 = 12(2 - x - y)^2 . A integral mais interna é .
Lembre-se que a integral de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^1-x 12(2 - x - y)^2 , dy . A integral fica:
(2 - x - y)^2 = (2 - x)^2 - 2(2 - x)y + y^2
Para facilitar, vamos expandir 12 integral0^1-x [(2 - x)^2 - 2(2 - x)y + y^2] , dy :
12 [ (2 - x)^2 y - (2 - x)y^2 + 13y^3 ]0^1-x
Então, substituindo de volta:
12 [ (2 - x)^2 (1 - x) - (2 - x)(1 - x)^2 + 13(1 - x)^3 ]
Integrando termo a termo:
12 [ (2 - x)^2 (1 - x) - (2 - x)(1 - x)^2 + 13(1 - x)^3 ]
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Finalmente, vamos integrar o resultado em relação a integral0^1 12 [ (2 - x)^2 (1 - x) - (2 - x)(1 - x)^2 + 13(1 - x)^3 ] , dx :
Essa integral pode ser resolvida expandindo os termos e integrando cada parte separadamente. Após realizar os cálculos, obtemos:

Resposta

A integral tripla vale .

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