Reparametrize pelo comprimento de arco a curva
dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa reparametrizar a curva
pelo comprimento de arco. Isso significa que vamos expressar a curva em termos do comprimento percorrido ao longo dela, em vez do parâmetro
. Para fazer isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva e usar algumas fórmulas de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva
em relação a
. A derivada nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade, que é o módulo da derivada
. Isso nos dá a rapidez com que estamos percorrendo a curva.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o comprimento de arco
desde
até um ponto qualquer
. Para isso, integramos a velocidade em relação a
.
Passo 5
Agora, queremos expressar
em termos de
. Como
, isolamos
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
por
na expressão original da curva
para obter a parametrização pelo comprimento de arco.
Resposta
A parametrização da curva pelo comprimento de arco é