Reparametrize pelo comprimento de arco a curva gamma dada.
γ(t) = (2t + 1, 3t - 1), t ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa reparametrizar a curva pelo comprimento de arco. Isso significa que vamos expressar a curva em termos do comprimento percorrido ao longo dela, em vez do parâmetro t. Para fazer isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva e usar algumas fórmulas de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva gamma(t) em relação a t. A derivada nos dá a velocidade da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade, que é o módulo da derivada . Isso nos dá a rapidez com que estamos percorrendo a curva.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o comprimento de arco s(t) desde até um ponto qualquer t. Para isso, integramos a velocidade em relação a t.

Passo 5

Agora, queremos expressar t em termos de s. Como , isolamos t:

Passo 6

Finalmente, substituímos t por na expressão original da curva gamma(t) para obter a parametrização pelo comprimento de arco.

Resposta

A parametrização da curva pelo comprimento de arco é

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