Calcule gamma'(t) e gamma''(t)
gamma(t) = raiz_cubica(t^2) * i + cos(t^2) * j + 3 * t * k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a primeira e a segunda derivada da função vetorial . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais. Vamos precisar calcular as derivadas de cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivar uma função vetorial. A derivada de uma função vetorial como gamma(t) é obtida derivando cada uma das suas componentes em relação a t. Ou seja, se , então:

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada . Vamos derivar cada componente:
  1. Primeira componente: . A derivada de t^n é . Então,
  1. Segunda componente: . A derivada de é , onde . Então,
  1. Terceira componente: . A derivada de é simplesmente .

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, temos a primeira derivada da função vetorial:

Passo 5

Vamos seguir para calcular a segunda derivada . Novamente, derivamos cada componente da primeira derivada .
  1. Primeira componente: . A derivada de é . Então,
  1. Segunda componente: . Vamos usar a regra do produto aqui: se temos u(t) * v(t), então a derivada é . Aqui, e .
    • Derivada de u(t):
    • Derivada de v(t):
    Aplicando a regra do produto:
  1. Terceira componente: . A derivada de uma constante é 0.

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos para a segunda derivada da função vetorial, temos:
Podemos simplificar combinando os termos da componente vec(j):

Resposta

As derivadas da função vetorial são:
e

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