Calcule
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a primeira e a segunda derivada da função vetorial
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais. Vamos precisar calcular as derivadas de cada componente da função vetorial separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa derivar uma função vetorial. A derivada de uma função vetorial como
é obtida derivando cada uma das suas componentes em relação a
. Ou seja, se
, então:
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
. Vamos derivar cada componente:
- Primeira componente:
. A derivada de é . Então,
- Segunda componente:
. A derivada de é , onde . Então,
- Terceira componente:
. A derivada de é simplesmente .
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, temos a primeira derivada da função vetorial:
Passo 5
Vamos seguir para calcular a segunda derivada
. Novamente, derivamos cada componente da primeira derivada
.
- Primeira componente:
. A derivada de é . Então,
-
Segunda componente:
. Vamos usar a regra do produto aqui: se temos , então a derivada é . Aqui, e . - Derivada de
: - Derivada de
:
Aplicando a regra do produto: - Derivada de
- Terceira componente:
. A derivada de uma constante é .
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos para a segunda derivada da função vetorial, temos:
Podemos simplificar combinando os termos da componente
:
Resposta
As derivadas da função vetorial são:
e