Dizemos que uma função de duas variáveis é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Mostre que as seguintes funções são harmônicas:
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função de duas variáveis:
E queremos mostrar que ela é harmônica, ou seja, que satisfaz a equação de Laplace:
Para isso, precisaremos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
e verificar se a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
De forma semelhante, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Primeiro, a primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, a segunda derivada parcial:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas segundas derivadas parciais para calcular o Laplace de
:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas parciais resulta em zero (
), concluímos que a função
é harmônica.