Dizemos que uma função de duas variáveis é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
De
Mostre que as seguintes funções são harmônicas:
b) g(x, y)=ln (x^2+y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função de duas variáveis:
g(x, y) = ln(x^2 + y^2)
E queremos mostrar que ela é harmônica, ou seja, que satisfaz a equação de Laplace:
De
Para isso, precisaremos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e e verificar se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de partial gpartial x = ddx ln(x^2 + y^2) em relação a partial gpartial x = 2xx^2 + y^2 :
Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 gpartial x^2 = ddx ( 2xx^2 + y^2 ) em relação a partial^2 gpartial x^2 = 2(x^2 + y^2) - 4x^2(x^2 + y^2)^2 = 2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial gpartial y = ddy ln(x^2 + y^2) = 2yx^2 + y^2 em relação a partial^2 gpartial y^2 = ddy ( 2yx^2 + y^2 ) = 2(x^2 + y^2) - 4y^2(x^2 + y^2)^2 = 2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2 .
Primeiro, a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas parciais para calcular o Laplace de De:

Resposta

Como a soma das segundas derivadas parciais resulta em zero ( ), concluímos que a função é harmônica.

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