Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar se a sequência
é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de sequências matemáticas e aos conceitos de limites. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo valor à medida que avançamos na sequência, ou seja, quando
tende ao infinito, a sequência se aproxima de um número específico. Se isso não acontecer, a sequência é divergente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da sequência
quando
tende ao infinito:
Para resolver isso, podemos observar que o denominador cresce exponencialmente (como
), enquanto o numerador cresce de forma linear (como
). Em geral, funções exponenciais crescem muito mais rápido do que funções polinomiais.
Passo 4
Outra maneira de ver isso é aplicando a regra de L’Hôpital, que é usada para calcular limites de formas indeterminadas, como
. Vamos aplicar a regra:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Agora, o denominador
ainda tende a infinito, então o limite geral será zero.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.