Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
{n/2^n}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar se a sequência {n/2^n}_{n=1}^{+\infty} é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de sequências matemáticas e aos conceitos de limites. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite dessa expressão quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo valor à medida que avançamos na sequência, ou seja, quando n tende ao infinito, a sequência se aproxima de um número específico. Se isso não acontecer, a sequência é divergente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito:
Para resolver isso, podemos observar que o denominador cresce exponencialmente (como 2^n), enquanto o numerador cresce de forma linear (como n). Em geral, funções exponenciais crescem muito mais rápido do que funções polinomiais.

Passo 4

Outra maneira de ver isso é aplicando a regra de L’Hôpital, que é usada para calcular limites de formas indeterminadas, como . Vamos aplicar a regra:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a n:
Agora, o denominador ainda tende a infinito, então o limite geral será zero.

Resposta

A sequência {n/2^n}_{n=1}^{+\infty} é convergente e o seu limite é 0.

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