Calcule a integra dupla
integral duplaD sen(x^3) d A
onde D=(x, y) in R^2 ; 0 <= y <= 1, raizy <= x <= 1. Esboce a região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
onde a região integral duplaD sen(x^3) , dA é definida por
D = (x, y) in R^2 ; , 0 <= y <= 1, , raizy <= x <= 1
Nesse exercício, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e mudança de ordem de integração. Também vamos precisar entender como descrever e esboçar a região de integração .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A condição nos diz que varia de 0 a 1. Já significa que, para cada valor de , vai de até 1.
Para esboçar essa região:
  • Quando , vai de 0 até 1.
  • Quando , vai de 1 até 1 (ou seja, apenas o ponto 1).
A curva pode ser reescrita como , que é uma parábola. Portanto, a região está entre a parábola e a linha , para entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Sabemos que
pode ser escrita como uma integral iterada. Observando os limites de integração:
  • integral duplaD sen(x^3) , dA varia de 0 a 1.
  • Para cada integraly=0^1 integralx=raizy^1 sen(x^3) , dx , dy , varia de a 1.
Então, nossa integral iterada fica:

Passo 4

Vamos trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Para isso, precisamos determinar novos limites para integralx=0^1 integraly=0^x^2 sen(x^3) , dy , dx e .
Originalmente:
  • vai de 0 a 1.
  • vai de a 1.
Ao trocar a ordem:
  • vai de 0 a 1.
  • Para cada , vai de 0 a (já que ).
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integraly=0^x^2 sen(x^3) , dy :
Como não depende de sen(x^3) times [ y ]0^x^2 = sen(x^3) times x^2 , podemos tratá-la como uma constante em relação à integração com respeito a integralx=0^1 x^2 sen(x^3) , dx . A integral fica:
Então, nossa integral agora é:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
Aqui, vamos usar uma substituição simples para facilitar. Vamos deixar integral0^1 x^2 sen(x^3) , dx . Assim, a derivada de dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 , dx em relação a x^2 , dx = du3 é:
integral sen(u) times du3 = 13 integral sen(u) , du
Queremos expressar em termos de :
Agora, substituímos na integral:

Passo 7

Integrando :
Voltando à variável original 13 integral sen(u) , du = 13 (-cos(u)) + C = -13 cos(u) + C :
-13 cos(x^3) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ -13 cos(x^3) ]0^1 = -13 cos(1) - ( -13 cos(0) )
Simplificando:
-13 cos(1) + 13 cos(0) = 13 (cos(0) - cos(1))
Sabemos que 13 (1 - cos(1)) , então:

Resposta

A integral dupla vale
13 (1 - cos(1))

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