Calcule a integra dupla
onde
. Esboce a região de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
onde a região
é definida por
Nesse exercício, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e mudança de ordem de integração. Também vamos precisar entender como descrever e esboçar a região de integração
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A condição
nos diz que
varia de 0 a 1. Já
significa que, para cada valor de
,
vai de
até 1.
Para esboçar essa região:
- Quando
, vai de 0 até 1. - Quando
, vai de 1 até 1 (ou seja, apenas o ponto 1).
A curva
pode ser reescrita como
, que é uma parábola. Portanto, a região
está entre a parábola
e a linha
, para
entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Sabemos que
pode ser escrita como uma integral iterada. Observando os limites de integração:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a 1.
Então, nossa integral iterada fica:
Passo 4
Vamos trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Para isso, precisamos determinar novos limites para
e
.
Originalmente:
-
vai de 0 a 1. -
vai de a 1.
Ao trocar a ordem:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de 0 a (já que ).
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Como não depende de
, podemos tratá-la como uma constante em relação à integração com respeito a
. A integral fica:
Então, nossa integral agora é:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral:
Aqui, vamos usar uma substituição simples para facilitar. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Queremos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos na integral:
Passo 7
Integrando :
Voltando à variável original
:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral dupla vale