Calcule, por integração, as coordenadas do centro de massa de massa de um aro circular de espessura desprezível e de raio
centrado na origem. Explique o seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do centro de massa de um aro circular, que é uma figura bem fininha com raio
e está centrada na origem do sistema de coordenadas. Para isso, vamos usar a integração, que é uma ferramenta matemática que ajuda a somar infinitas pequenas partes para encontrar um todo. A ideia é descobrir onde está o “peso médio” desse aro no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa (
) de uma figura é dado pelas fórmulas:
Como o aro é uniforme, a densidade linear (
) é constante. Também, como a espessura é desprezível, podemos considerar que todo o aro está em uma circunferência perfeita com raio
.
Passo 3
Vamos parametrizar o aro usando o ângulo
, que varia de
a
. As coordenadas de qualquer ponto no aro são dadas por:
A massa infinitesimal
pode ser expressa como
, já que um pequeno segmento do arco tem comprimento
.
Passo 4
Agora vamos calcular as integrais:
Para
:
Porque a integral de
de
a
é zero.
Para
:
A integral de
também é zero nesse intervalo.
Resposta
As coordenadas do centro de massa do aro são
, ou seja, ele está exatamente na origem.