Calcule, por integração, as coordenadas do centro de massa de massa de um aro circular de espessura desprezível e de raio R centrado na origem. Explique o seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do centro de massa de um aro circular, que é uma figura bem fininha com raio R e está centrada na origem do sistema de coordenadas. Para isso, vamos usar a integração, que é uma ferramenta matemática que ajuda a somar infinitas pequenas partes para encontrar um todo. A ideia é descobrir onde está o “peso médio” desse aro no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa ( barx, bary) de uma figura é dado pelas fórmulas:
barx = integral x , dmintegral dm e bary = integral y , dmintegral dm
Como o aro é uniforme, a densidade linear ( lambda) é constante. Também, como a espessura é desprezível, podemos considerar que todo o aro está em uma circunferência perfeita com raio R.

Passo 3

Vamos parametrizar o aro usando o ângulo theta, que varia de 0 a 2pi. As coordenadas de qualquer ponto no aro são dadas por:
x = R costheta e y = R sintheta
A massa infinitesimal dm pode ser expressa como lambda R dtheta, já que um pequeno segmento do arco tem comprimento R dtheta.

Passo 4

Agora vamos calcular as integrais:
Para barx:
barx = integral0^2pi R costheta cdot lambda R dthetalambda R cdot 2pi R = lambda R^2 integral0^2pi costheta , dtheta2pi lambda R^2 = 02pi = 0
Porque a integral de costheta de 0 a 2pi é zero.
Para bary:
bary = integral0^2pi R sintheta cdot lambda R dthetalambda R cdot 2pi R = lambda R^2 integral0^2pi sintheta , dtheta2pi lambda R^2 = 02pi = 0
A integral de sintheta também é zero nesse intervalo.

Resposta

As coordenadas do centro de massa do aro são (0, 0), ou seja, ele está exatamente na origem.

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