Mostre, por integração, que o centro de massa de uma barra fina, homogênea, de comprimento
e massa
localiza-se no ponto médio (centro geométrico) da barra. Dica: construa o sistema coordenado
no ponto médio da barra e considere um elemento de massa
e comprimento
localizado a uma distância
do centro. Explique o seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra fina, homogênea, que significa que a massa está distribuída de maneira uniforme ao longo dela. Essa barra tem comprimento $ \ell $ e massa total $ M $. A parada é mostrar que o centro de massa dessa barra está no ponto médio dela, ou seja, no centro geométrico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que ajuda a somar infinitos pequenos pedaços (elementos) para encontrar o todo. Vamos precisar montar um sistema de coordenadas $ xy $ onde o ponto médio da barra será a origem, e considerar um elemento de massa $ dm $ localizado a uma distância $ x $ do centro.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Colocamos o ponto médio da barra na origem do eixo $ x $. Assim, a barra vai de $ -\frac{\ell}{2} $ a $ \frac{\ell}{2} $ no eixo $ x $. Como a barra é fina e está na horizontal, podemos ignorar o eixo $ y $.
Passo 3
Agora, vamos pensar em um elemento infinitesimal de comprimento $ dx $ na barra, localizado a uma distância $ x $ do centro. A massa desse elemento $ dm $ pode ser expressa em termos da densidade linear $ \lambda $, que é a massa por unidade de comprimento. Como a barra é homogênea, $ \lambda = \frac{M}{\ell} $. Então:
Passo 4
O centro de massa $ \bar{x} $ é dado pela média ponderada das posições dos elementos de massa. Matemáticamente, é:
Substituindo $ dm $ pela expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
A antiderivada de $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $, então:
Passo 6
Substituindo o valor da integral de volta na expressão para $ \bar{x} $:
Isso significa que o centro de massa está na posição $ x = 0 $, que é exatamente o ponto médio da barra.
Resposta
Portanto, o centro de massa da barra está localizado no ponto médio (centro geométrico) da barra.