Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(d) f(z) = (z + 1) / (z + 4)

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa descobrir se ela é analítica. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, e pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre funções analíticas. Uma função é considerada analítica em um ponto se ela for diferenciável naquele ponto e em um entorno ao redor dele. Basicamente, se conseguimos derivar a função de forma consistente nesse ponto e nas proximidades, ela é analítica ali.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Essa é uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios.

Passo 4

Funções racionais são geralmente analíticas em todo lugar, exceto nos pontos onde o denominador é zero, porque aí a função não está definida e, portanto, não pode ser diferenciada.

Passo 5

Vamos encontrar onde o denominador é igual a zero. Resolvendo:
Então, a função não está definida em .

Resposta

A função é analítica em todo o plano complexo, exceto no ponto .

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