Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(d)
(d)
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa descobrir se ela é analítica. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, e pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre funções analíticas. Uma função é considerada analítica em um ponto se ela for diferenciável naquele ponto e em um entorno ao redor dele. Basicamente, se conseguimos derivar a função de forma consistente nesse ponto e nas proximidades, ela é analítica ali.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Essa é uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios.
Passo 4
Funções racionais são geralmente analíticas em todo lugar, exceto nos pontos onde o denominador é zero, porque aí a função não está definida e, portanto, não pode ser diferenciada.
Passo 5
Vamos encontrar onde o denominador
é igual a zero. Resolvendo:
Então, a função não está definida em
.
Resposta
A função
é analítica em todo o plano complexo, exceto no ponto
.