Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(f)
(f)
Passo 1
Vamos analisar a função
. Nosso objetivo é verificar se essa função é analítica. Para isso, vamos utilizar os equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais na teoria das funções de uma variável complexa. Precisamos identificar as partes real e imaginária da função e depois aplicar essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos separar
nas suas partes real
e imaginária
:
Comparando,
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que para
ser analítica, devem ser válidas:
Passo 4
Calculando as derivadas:
Vemos que a primeira equação é satisfeita porque
.
Passo 5
Agora, calculamos as outras derivadas:
A segunda equação de Cauchy-Riemann exige que
, o que só é verdadeiro se
.
Resposta
A função
não é analítica, exceto nos pontos onde
.