Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(f) w = x^2 + y^2 + 2 * i * x * y

Passo 1

Vamos analisar a função . Nosso objetivo é verificar se essa função é analítica. Para isso, vamos utilizar os equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais na teoria das funções de uma variável complexa. Precisamos identificar as partes real e imaginária da função e depois aplicar essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos separar nas suas partes real e imaginária :
Comparando,

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que para ser analítica, devem ser válidas:

Passo 4

Calculando as derivadas:
Vemos que a primeira equação é satisfeita porque .

Passo 5

Agora, calculamos as outras derivadas:
A segunda equação de Cauchy-Riemann exige que , o que só é verdadeiro se .

Resposta

A função não é analítica, exceto nos pontos onde .

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