Calcule as integrais abaixo:
integral d xx^4-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral dxx^4 - x^2. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 - x^2. Podemos colocar x^2 em evidência:
x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)

Passo 3

Agora, observamos que x^2 - 1 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Portanto, o denominador completamente fatorado fica:
x^4 - x^2 = x^2(x - 1)(x + 1)

Passo 4

Com o denominador fatorado, podemos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes A, B, C e D tais que:
1x^2(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx^2 + Cx - 1 + Dx + 1

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2(x - 1)(x + 1) para eliminar as frações:
1 = A cdot x(x - 1)(x + 1) + B cdot (x - 1)(x + 1) + C cdot x^2(x + 1) + D cdot x^2(x - 1)

Passo 6

Para encontrar os valores de A, B, C e D, escolhemos valores de x que simplifiquem a equação:
  • Para x = 0:
    1 = B cdot (-1)(1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
  • Para x = 1:
    1 = C cdot 1^2(2) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12
  • Para x = -1:
    1 = D cdot 1^2(-2) Rightarrow 1 = -2D Rightarrow D = -12

Passo 7

Para encontrar A, podemos escolher outro valor de x ou comparar os coeficientes. Usando x = 2:
1 = A cdot 2(1)(3) + (-1)(1)(3) + 12 cdot 4(3) + -12 cdot 4(1)
Simplificando:
1 = 6A - 3 + 6 - 2 Rightarrow 1 = 6A + 1 Rightarrow 6A = 0 Rightarrow A = 0

Passo 8

Agora que temos os valores de A, B, C e D, a fração parcial fica:
1x^2(x - 1)(x + 1) = 0x + -1x^2 + 12x - 1 + -12x + 1
Simplificando:
1x^2(x - 1)(x + 1) = -1x^2 + 12(x - 1) - 12(x + 1)

Passo 9

Agora podemos integrar cada termo separadamente:
integral (-1x^2 + 12(x - 1) - 12(x + 1)) dx

Passo 10

Integrando cada termo:
  • integral -1x^2 dx = 1x + C
  • integral 12(x - 1) dx = 12 ln|x - 1| + C
  • integral -12(x + 1) dx = -12 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral é igual a:
1x + 12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C

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