Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos colocar
em evidência:
Passo 3
Agora, observamos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Portanto, o denominador completamente fatorado fica:
Passo 4
Com o denominador fatorado, podemos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
,
e
tais que:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 6
Para encontrar os valores de
,
,
e
, escolhemos valores de
que simplifiquem a equação:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 7
Para encontrar
, podemos escolher outro valor de
ou comparar os coeficientes. Usando
:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos os valores de
,
,
e
, a fração parcial fica:
Simplificando:
Passo 9
Agora podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 10
Integrando cada termo:
Resposta
A integral é igual a:
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Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: