Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar em evidência:

Passo 3

Agora, observamos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Portanto, o denominador completamente fatorado fica:

Passo 4

Com o denominador fatorado, podemos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , , e tais que:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 6

Para encontrar os valores de , , e , escolhemos valores de que simplifiquem a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Para encontrar , podemos escolher outro valor de ou comparar os coeficientes. Usando :
Simplificando:

Passo 8

Agora que temos os valores de , , e , a fração parcial fica:
Simplificando:

Passo 9

Agora podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 10

Integrando cada termo:

Resposta

A integral é igual a:

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