Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2))

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de funções de várias variáveis, domínio (todos os valores de entrada possíveis) e imagem (todos os valores de saída que a função pode gerar). Também vamos usar propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o Domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida.
A função exponencial e^z está definida para todo número real z. No nosso caso, . Sabemos que é sempre maior ou igual a zero para quaisquer números reais x e y, porque o quadrado de um número real nunca é negativo. Portanto, z será sempre um número real menor ou igual a zero.
Como não há restrições nos valores de x e y que fazem com que a função fique indefinida, concluímos que o domínio é todo o plano real de duas dimensões.

Passo 3

Agora, vamos determinar a Imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Sabemos que a função exponencial e^z é sempre positiva, ou seja, para todo z em R. No nosso caso, como , o menor valor que z pode assumir é -infinito (quando x e y tendem ao infinito) e o maior valor é 0 (quando x = 0 e ).
  • Quando x = 0 e , temos , que é o valor máximo da função.
  • Conforme aumenta, ou seja, afastando-se da origem, o valor de f(x, y) diminui, aproximando-se de 0.
Portanto, a imagem da função é o intervalo , onde 1 está incluído (quando x = 0 e ) e 0 não está incluído (pois nunca é atingido, apenas aproximado).

Resposta

  • Domínio: (todos os pares de números reais (x, y)).
  • Imagem:

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