Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de funções de várias variáveis, domínio (todos os valores de entrada possíveis) e imagem (todos os valores de saída que a função pode gerar). Também vamos usar propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o Domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
A função exponencial está definida para todo número real . No nosso caso, . Sabemos que é sempre maior ou igual a zero para quaisquer números reais e , porque o quadrado de um número real nunca é negativo. Portanto, será sempre um número real menor ou igual a zero.
Como não há restrições nos valores de e que fazem com que a função fique indefinida, concluímos que o domínio é todo o plano real de duas dimensões.

Passo 3

Agora, vamos determinar a Imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Sabemos que a função exponencial é sempre positiva, ou seja, para todo . No nosso caso, como , o menor valor que pode assumir é (quando e tendem ao infinito) e o maior valor é (quando e ).
  • Quando e , temos , que é o valor máximo da função.
  • Conforme aumenta, ou seja, afastando-se da origem, o valor de diminui, aproximando-se de .
Portanto, a imagem da função é o intervalo , onde está incluído (quando e ) e não está incluído (pois nunca é atingido, apenas aproximado).

Resposta

  • Domínio: (todos os pares de números reais ).
  • Imagem:

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Pato Branco, 24 de junho de 2024
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