Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções quadráticas sob uma raiz. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e usar uma substituição trigonométrica. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Podemos reescrever isso para facilitar o trabalho:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a expressão . Fatorando o -1:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Simplificando:
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
Perceba que isso se parece com a forma , onde e . Nesse caso, podemos usar uma substituição trigonométrica.

Passo 5

Vamos fazer a substituição:
Então,
Substituindo na integral:
Sabemos que , então:

Passo 6

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembre-se que fizemos a substituição , então:
E para , usamos a identidade :
Substituindo tudo de volta:

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
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Calcule as integrais abaixo:
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: