Calcule as integrais abaixo:
integral raiz2 x-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções quadráticas sob uma raiz. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e usar uma substituição trigonométrica. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: 2x - x^2 = -x^2 + 2x. Podemos reescrever isso para facilitar o trabalho:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a expressão -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x). Fatorando o -1:
-(x^2 - 2x + 1 - 1) = -((x - 1)^2 - 1)
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de -(x - 1)^2 + 1, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
2x - x^2 = 1 - (x - 1)^2
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Simplificando:
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral raiz1 - (x - 1)^2 , dx
Perceba que isso se parece com a forma , onde e . Nesse caso, podemos usar uma substituição trigonométrica.

Passo 5

Vamos fazer a substituição:
x - 1 = sin theta
Então,
dx = cos theta , dtheta
Substituindo na integral:
integral raiz1 - sin^2 theta cdot cos theta , dtheta
Sabemos que integral cos theta cdot cos theta , dtheta = integral cos^2 theta , dtheta, então:

Passo 6

Para integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2, usamos a identidade trigonométrica:
integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos 2theta , dtheta
Então, a integral fica:
12 theta + 14 sin 2theta + C
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original theta = arcsin(x - 1). Lembre-se que fizemos a substituição sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2 (x - 1) raiz1 - (x - 1)^2, então:
12 arcsin(x - 1) + 12 (x - 1) raiz1 - (x - 1)^2 + C
E para , usamos a identidade :
Substituindo tudo de volta:

Resposta

A integral 12 arcsin(x - 1) + 12 (x - 1) raiz2x - x^2 + C é igual a:

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