Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções quadráticas sob uma raiz. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e usar uma substituição trigonométrica. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Podemos reescrever isso para facilitar o trabalho:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a expressão
. Fatorando o -1:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Simplificando:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Agora, nossa integral fica:
Perceba que isso se parece com a forma
, onde
e
. Nesse caso, podemos usar uma substituição trigonométrica.
Passo 5
Vamos fazer a substituição:
Então,
Substituindo na integral:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembre-se que fizemos a substituição
, então:
E para
, usamos a identidade
:
Substituindo tudo de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
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Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: