Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar substituição trigonométrica, que é uma técnica bacana para integrar funções envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Nesse processo, a gente também vai esboçar o triângulo retângulo que acompanha a substituição para facilitar a visualização.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte dentro da raiz: . Queremos fazer uma substituição que simplifique essa expressão. Observando que a expressão é do tipo , podemos usar a substituição trigonométrica:
Porque assim:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para achar :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral:

Passo 6

Para resolver , podemos usar uma substituição adicional. Vamos deixar , então . Assim:
Voltando para :

Passo 7

Agora, substituindo de volta para :
Lembrando que , então .
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Calculando para :
Simplificando as potências:
Encontrando o denominador comum:
Para , a expressão é zero.

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Triângulo Retângulo Associado

Na substituição , o triângulo retângulo tem:
  • Cateto oposto:
  • Hipotenusa:
  • Cateto adjacente:
Isso ajuda a visualizar a relação trigonométrica usada na substituição.

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Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
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