Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
integral0^25 x^3 raiz4-25 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar substituição trigonométrica, que é uma técnica bacana para integrar funções envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Nesse processo, a gente também vai esboçar o triângulo retângulo que acompanha a substituição para facilitar a visualização.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte dentro da raiz: x = 25 sintheta . Queremos fazer uma substituição que simplifique essa expressão. Observando que a expressão é do tipo 25x^2 = 25 (25)^2 sin^2theta = 4 sin^2theta , podemos usar a substituição trigonométrica:
Porque assim:

Passo 3

Agora, vamos derivar dx = 25 costheta , dtheta em relação a para achar :

Passo 4

Substituindo integral0^25 x^3 raiz4 - 25x^2 , dx = integral (25 sintheta)^3 raiz4 - 4 sin^2theta cdot 25 costheta , dtheta e raiz4(1 - sin^2theta) = raiz4 cos^2theta = 2 costheta na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral:
integral (8125 sin^3theta) cdot 2 costheta cdot 25 costheta , dtheta = 32625 integral sin^3theta cos^2theta , dtheta

Passo 6

Para resolver integral u^3 (1 - u^2) , du = integral (u^3 - u^5) , du = u^44 - u^66 + C , podemos usar uma substituição adicional. Vamos deixar sin^4theta4 - sin^6theta6 + C , então . Assim:
Voltando para :

Passo 7

Agora, substituindo de volta para (5x2)^44 - (5x2)^66 + C = 625x^464 cdot 14 - 15625x^64096 cdot 16 :
Lembrando que 625x^4256 - 15625x^624576 + C , então .
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 625 (25)^4256 - 15625 (25)^624576 :
Calculando para 625 cdot 16625256 - 15625 cdot 641562524576 = 16256 - 6424576 = 116 - 1384 :
24384 - 1384 = 23384
Simplificando as potências:
Encontrando o denominador comum:
Para , a expressão é zero.

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Triângulo Retângulo Associado

Na substituição , o triângulo retângulo tem:
  • Cateto oposto:
  • Hipotenusa:
  • Cateto adjacente:
Isso ajuda a visualizar a relação trigonométrica usada na substituição.

Exercícios relacionados