Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar substituição trigonométrica, que é uma técnica bacana para integrar funções envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Nesse processo, a gente também vai esboçar o triângulo retângulo que acompanha a substituição para facilitar a visualização.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte dentro da raiz:
. Queremos fazer uma substituição que simplifique essa expressão. Observando que a expressão é do tipo
, podemos usar a substituição trigonométrica:
Porque assim:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para achar
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral:
Passo 6
Para resolver
, podemos usar uma substituição adicional. Vamos deixar
, então
. Assim:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, substituindo de volta para
:
Lembrando que
, então
.
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Calculando para
:
Simplificando as potências:
Encontrando o denominador comum:
Para
, a expressão é zero.
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
Triângulo Retângulo Associado
Na substituição
, o triângulo retângulo tem:
- Cateto oposto:
- Hipotenusa:
- Cateto adjacente:
Isso ajuda a visualizar a relação trigonométrica usada na substituição.
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