Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente o secante e a tangente elevados a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
. Essa identidade vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral. Nosso objetivo é reescrever a integral em termos de
para facilitar a substituição.
Passo 3
Vamos reescrever
usando a identidade que mencionamos:
Agora, substituímos isso na integral:
Passo 4
Agora, expandimos
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Agora, vamos lidar com cada termo separadamente:
Para simplificar, reconheceremos que integrar potências ímpares de tangente pode ser complicado, então vamos procurar uma substituição que funcione para todos os termos de uma vez.
Passo 6
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas lembrando que
, então:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 8
Agora, integramos termo por termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Por fim, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo:
Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo: