Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente o secante e a tangente elevados a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante: . Essa identidade vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral. Nosso objetivo é reescrever a integral em termos de para facilitar a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever usando a identidade que mencionamos:
Agora, substituímos isso na integral:

Passo 4

Agora, expandimos :
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, vamos lidar com cada termo separadamente:
Para simplificar, reconheceremos que integrar potências ímpares de tangente pode ser complicado, então vamos procurar uma substituição que funcione para todos os termos de uma vez.

Passo 6

Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é:
Mas lembrando que , então:

Passo 7

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 8

Agora, integramos termo por termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Por fim, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a .

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