Calcule as integrais abaixo:
integral sec ^4 x tg^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente o secante e a tangente elevados a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante: . Essa identidade vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral. Nosso objetivo é reescrever a integral em termos de para facilitar a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever sec^4 x = (sec^2 x)^2 = (1 + tan^2 x)^2 usando a identidade que mencionamos:
integral sec^4 x tan^4 x , dx = integral (1 + tan^2 x)^2 tan^4 x , dx
Agora, substituímos isso na integral:

Passo 4

Agora, expandimos (1 + tan^2 x)^2 = 1 + 2 tan^2 x + tan^4 x :
integral (1 + 2 tan^2 x + tan^4 x) tan^4 x , dx = integral tan^4 x + 2 tan^6 x + tan^8 x , dx
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, vamos lidar com cada termo separadamente:
integral tan^4 x , dx + 2 integral tan^6 x , dx + integral tan^8 x , dx
Para simplificar, reconheceremos que integrar potências ímpares de tangente pode ser complicado, então vamos procurar uma substituição que funcione para todos os termos de uma vez.

Passo 6

Vamos fazer a substituição du = sec^2 x , dx Rightarrow dx = dusec^2 x . Então, a derivada de dx = du1 + u^2 em relação a é:
Mas lembrando que , então:

Passo 7

Agora, substituímos integral sec^4 x tan^4 x , dx = integral (1 + u^2)^2 u^4 cdot du1 + u^2 = integral (1 + u^2) u^4 , du = integral u^4 + u^6 , du e na integral original:

Passo 8

Agora, integramos termo por termo:
integral u^4 , du + integral u^6 , du = u^55 + u^77 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Por fim, substituímos tan^5 x5 + tan^7 x7 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a .

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