Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício pede para calcular uma integral usando substituição trigonométrica. A integral que temos é:
Aqui, vamos trabalhar com cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos precisar reconhecer a forma da expressão dentro da raiz e aplicar a substituição trigonométrica adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Para facilitar, vamos reescrever essa expressão ordenando os termos:
Agora, completamos o quadrado para colocar essa expressão em uma forma mais conveniente:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição trigonométrica. Sabemos que para expressões da forma
, podemos usar:
No nosso caso,
, então
. Portanto, fazemos:
Passo 5
Vamos substituir
e
na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos simplificar os coeficientes e os termos trigonométricos:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Para resolver
, vamos usar uma identidade trigonométrica e uma substituição. Primeiro, separamos uma
:
Usamos a identidade
:
Agora, fazemos a substituição
:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Lembrando que
, então:
Passo 9
Agora, voltamos à substituição original
. Primeiro, vamos expressar
em termos de
:
Substituindo na expressão:
Passo 10
Simplificando os coeficientes:
Reduzindo:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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