Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício pede para calcular uma integral usando substituição trigonométrica. A integral que temos é:
Aqui, vamos trabalhar com cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos precisar reconhecer a forma da expressão dentro da raiz e aplicar a substituição trigonométrica adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Para facilitar, vamos reescrever essa expressão ordenando os termos:
Agora, completamos o quadrado para colocar essa expressão em uma forma mais conveniente:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição trigonométrica. Sabemos que para expressões da forma , podemos usar:
No nosso caso, , então . Portanto, fazemos:

Passo 5

Vamos substituir e na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes e os termos trigonométricos:
Então, a integral agora é:

Passo 7

Para resolver , vamos usar uma identidade trigonométrica e uma substituição. Primeiro, separamos uma :
Usamos a identidade :
Agora, fazemos a substituição :

Passo 8

Integrando termo a termo:
Lembrando que , então:

Passo 9

Agora, voltamos à substituição original . Primeiro, vamos expressar em termos de :
Substituindo na expressão:

Passo 10

Simplificando os coeficientes:
Reduzindo:

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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