Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
integral raiz7+2 x-x^2(x-1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício pede para calcular uma integral usando substituição trigonométrica. A integral que temos é:
integral raiz7 + 2x - x^2(x - 1)^3 , dx
Aqui, vamos trabalhar com cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos precisar reconhecer a forma da expressão dentro da raiz e aplicar a substituição trigonométrica adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: 7 + 2x - x^2 = -x^2 + 2x + 7 . Para facilitar, vamos reescrever essa expressão ordenando os termos:
-x^2 + 2x + 7 = -(x^2 - 2x - 7) = -[(x - 1)^2 - 1 - 7] = -(x - 1)^2 + 8 = 8 - (x - 1)^2
Agora, completamos o quadrado para colocar essa expressão em uma forma mais conveniente:
integral raiz8 - (x - 1)^2 cdot (x - 1)^3 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x - 1 Rightarrow du = dx
Substituindo na integral, temos:
integral raiz8 - u^2 cdot u^3 , du

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição trigonométrica. Sabemos que para expressões da forma u = a sin theta , podemos usar:
u = 2raiz2 sin theta Rightarrow du = 2raiz2 cos theta , dtheta
No nosso caso, , então . Portanto, fazemos:

Passo 5

Vamos substituir integral raiz8 - (2raiz2 sin theta)^2 cdot (2raiz2 sin theta)^3 cdot 2raiz2 cos theta , dtheta e raiz8 - 8 sin^2 theta = raiz8(1 - sin^2 theta) = raiz8 cos^2 theta = 2raiz2 cos theta na integral:
integral 2raiz2 cos theta cdot (2raiz2 sin theta)^3 cdot 2raiz2 cos theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes e os termos trigonométricos:
(2raiz2)^3 = 8 cdot 2raiz2 = 16raiz2
2raiz2 cos theta cdot 16raiz2 sin^3 theta cdot 2raiz2 cos theta = 64 cdot cos^2 theta sin^3 theta
Então, a integral agora é:
64 integral cos^2 theta sin^3 theta , dtheta

Passo 7

Para resolver 64 integral cos^2 theta sin^2 theta cdot sin theta , dtheta , vamos usar uma identidade trigonométrica e uma substituição. Primeiro, separamos uma 64 integral cos^2 theta (1 - cos^2 theta) sin theta , dtheta :
-64 integral v^2(1 - v^2) , dv = -64 integral (v^2 - v^4) , dv
Usamos a identidade :
Agora, fazemos a substituição :

Passo 8

Integrando termo a termo:
-64 ( v^33 - v^55 ) + C = -643 v^3 + 645 v^5 + C
Lembrando que -643 cos^3 theta + 645 cos^5 theta + C , então:

Passo 9

Agora, voltamos à substituição original cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - (u2raiz2)^2 = raiz8 - u^22raiz2 . Primeiro, vamos expressar -643 ( raiz8 - u^22raiz2 )^3 + 645 ( raiz8 - u^22raiz2 )^5 + C em termos de :
Substituindo na expressão:

Passo 10

Simplificando os coeficientes:
-643 cdot (8 - u^2)^3/216 cdot 2raiz2 + 645 cdot (8 - u^2)^5/2128 cdot 4raiz2 + C
Reduzindo:
-643 cdot (8 - u^2)^3/232raiz2 + 645 cdot (8 - u^2)^5/2512raiz2 + C
=-23raiz2 (8 - u^2)^3/2 + 140raiz2 (8 - u^2)^5/2 + C

Passo 11

Lembrando que -23raiz2 [8 - (x - 1)^2]^3/2 + 140raiz2 [8 - (x - 1)^2]^5/2 + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral -23raiz2 [8 - (x - 1)^2]^3/2 + 140raiz2 [8 - (x - 1)^2]^5/2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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