Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
integral arctg(1x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher como du = ddx arctan(1x) , dx = -1x^2 + 1 , dx e dv = dx Rightarrow v = integral dv = integral dx = x . Vamos deixar . Então, precisamos encontrar . Para isso, usamos a derivada da função arco-tangente:
Agora, será simplesmente , então:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral arctan(1x) , dx = arctan(1x) cdot x - integral x cdot (-1x^2 + 1) , dx
Simplificando a integral:
= x cdot arctan(1x) + integral xx^2 + 1 , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral xx^2 + 1 , dx = 12 integral 1w , dw = 12 ln|w| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C . Para isso, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar , então . Isso significa que . Substituindo na integral:

Passo 5

Voltando à nossa expressão original:
integral arctan(1x) , dx = x cdot arctan(1x) + 12 ln(x^2 + 1) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral x cdot arctan(1x) + 12 ln(x^2 + 1) + C é igual a:

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